Mathe-Rätsel/Beweis



  • Hi!

    Ich habe eine wie ich finde recht nette Beweisaufgabe gefunden:

    Man betrachte eine Ebene, die von einer Geraden in zwei Flächen zerlegt wird. Zeige, dass durch nn Geraden höchstens Z(n)=12(n2+n+2)Z(n)=\frac{1}{2}(n^2+n+2) Flächen enstehen.

    Wer geneigt ist, etwas zu knobeln, darf gerne einen Vorschlag kundtun. 😋

    Hier ist mein Beweisvorschlag (Base64-codiert/UTF-8):

    W2JdQmV3ZWlzLlsvYl0NCkVzIHNlaWVuIFtsYXRleF1uXGluXG1hdGhiYntOfVsvbGF0ZXhdIHVuZCBbbGF0ZXhdR19uPVx7Z18xLFxsZG90cyxnX3
    tuKzF9XH1bL2xhdGV4XSBpbiBlaW5lciBFYmVuZSBsaWVnZW5kZSwgenVlaW5hbmRlciBuaWNodCBwYXJhbGxlbGUgR2VyYWRlbiBnZWdlYmVuLCBz
    b2Rhc3Mgc2ljaCBpbiBlaW5lbSBTY2huaXR0cHVua3QgaMO2Y2hzdGVucyB6d2VpIEdlcmFkZW4gc2NobmVpZGVuLiANCg0KTWFuIHfDpGhsZSBlaW
    5lIGJlbGllYmlnZSBHZXJhZGUgW2xhdGV4XWdfe2pcbGUgbisxfVxpbiBHX25bL2xhdGV4XSBoZXJhdXMuIERhIHNpZSB6dSBrZWluZXIgZGVyIMO8
    YnJpZ2VuIEdlcmFkZW4gW2xhdGV4XUdfblxzZXRtaW51cyBce2dcfVsvbGF0ZXhdIHBhcmFsbGVsIGlzdCB1bmQgbnVyIFNjaG5pdHRwdW5rdGUgen
    dlaWVyIEdlcmFkZW4gZW50aMOkbHQsIGhhdCBzaWUgaW5zZ2VzYW10IFtsYXRleF1uWy9sYXRleF0gU2Nobml0dHB1bmt0ZS4gRGEgamVkZXIgU2No
    bml0dHB1bmt0IFtsYXRleF1wXGluIEdfalxjYXAgR19pWy9sYXRleF0gendpc2NoZW4gendlaSBkdXJjaCBbbGF0ZXhdR19pLCBpIFxuZXEgalsvbG
    F0ZXhdIGdldHJlbm50ZW4gRmzDpGNoZW4gbGllZ3QsIGR1cmNocXVlcnQgW2xhdGV4XWdfalsvbGF0ZXhdIGZvbGdsaWNoIGJlaWRlIEZsw6RjaGVu
    LiBBbGxnZW1laW5lciB3aXJkIFtsYXRleF1nX2pbL2xhdGV4XSBiZWkgW2xhdGV4XW5bL2xhdGV4XSBTY2huaXR0cHVua3RlbiBpbiBbbGF0ZXhdbi
    sxWy9sYXRleF0gQWJzY2huaXR0ZSBnZXRlaWx0LCB3b2JlaSBqZWRlciBBYnNjaG5pdHQgZWluZW4gZGVyIFtsYXRleF1uKzFbL2xhdGV4XSB2b24g
    ZGVuIGR1cmNoIGRpZSDDvGJyaWdlbiBbbGF0ZXhdR19uXHNldG1pbnVzIFx7Z1x9Wy9sYXRleF0gZ2VzY2hhZmZlbmVuIEZsw6RjaGVuIGR1cmNocX
    VlcnQgdW5kIHNpZSBkYWJlaSBpbiBqZXdlaWxzIHp3ZWkgRmzDpGNoZW4gcHJvIEFic2Nobml0dCB0ZWlsdCBbbGF0ZXhdXFJpZ2h0YXJyb3dbL2xh
    dGV4XWVzIGtvbW1lbiBkdXJjaCBIaW56dWbDvGdlbiBlaW5lciBHZXJhZGVuLCBow7ZjaHN0ZW5zIFtsYXRleF1uKzFbL2xhdGV4XSB6dXPDpHR6bG
    ljaGUgRmzDpGNoZW4gaGluenUgKHNvZmVybiBbbGF0ZXhdZ19qWy9sYXRleF0gZGllIEJlZGluZ3VuZ2VuIHZvbiBbbGF0ZXhdR19uWy9sYXRleF0g
    ZXJmw7xsbHQpLg0KDQpEaWUgQmVoYXVwdHVuZyBmb2xndCBudW4gbWl0aGlsZmUgdm9uIEluZHVrdGlvbjoNCg0KW2JdSW5kdWt0aW9uc2FuZmFuZ1
    svYl0gW2xhdGV4XW4gPSAxWy9sYXRleF06DQpbbGF0ZXhdWigxKT1cZnJhY3sxfXsyfSgxXjIrMSsyKT0yWy9sYXRleF0gdHJpdmlhbCBlcmbDvGxs
    dC4NCg0KW2JdSW5kdWt0aW9uc3ZvcmF1c3NldHp1bmc6Wy9iXSANCltsYXRleF1aKG4pPVxmcmFjezF9ezJ9KG5eMituKzIpWy9sYXRleF0NCg0KW2
    JdSW5kdWt0aW9uc3NjaHJpdHRbL2JdIFtsYXRleF1uXG1hcHN0byBuKzFbL2xhdGV4XToNCkbDvGd0IG1hbiBlaW5lIEdlcmFkZSB6dSBuIEdlcmFk
    ZW4gaGluenUsIHNvIGZvbGd0IGF1cyBvYmlnZXIgQXJndW1lbnRhdGlvbiBkaWUgWnVuYWhtZSB1bSBbbGF0ZXhdbisxWy9sYXRleF0gRmzDpGNoZW
    4gdW5kIGRhbWl0DQpbbGF0ZXhdWihuKStuKzE9XGZyYWN7MX17Mn0obl4yK24rMikrbisxPVxmcmFjezF9ezJ9XGxlZnQoKG4rMSleMisobisxKSsy
    XHJpZ2h0KT1aKG4rMSkuWy9sYXRleF0NCnEuZS5kLg==
    

  • Mod

    Meine Antwort, bevor ich deine lese:

    biBMaW5pZW4ga8O2bm5lbiB2b24gZWluZXIgd2VpdGVyZW4gTGluaWUgaW4gaMO2Y2hzdGVucyBu
    IFB1bmt0ZW4gZ2VzY2huaXR0ZW4gd2VyZGVuLiBEYXMgaGVpw590LCBkZXIgU2Nocml0dCB2b24g
    biBuYWNoIG4rMSBmw7xndCBkZW0gU3lzdGVtIGjDtmNoc3RlbnMgbisxICJXw6RuZGUiIGhpbnp1
    LiBIaWVyYXVzIGZvbGd0IHBlciBJbmR1a3Rpb24gZGllIGdlZ2ViZW5lIEZvcm1lbC4K
    

    Und nun lese ich deine Antwort:
    Jupp, wir hatten also die gleiche Idee, ich fand es nur nicht nötig, meinen Schritt von n nach n+1 ausdrücklich zu beweisen, weil ich diese Erkenntnis irgendwie trivial fand.



  • Wie bist du darauf gekommen, das gleiche Verfahren wie ich zu benutzen? Ich finde das eigentlich ziemlich unintuitiv.
    Hier eine Anmerkung dazu:

    TWFuIG11c3MgZXMgbsOkbWxpY2ggZWlnZW50bGljaCBuaWNodCBtYWwgaW5kdWt0aXYgbWFjaGVuLCBtYW
    4ga2FubiBlcyBhdWNoIGRlZHVrdGl2IGJld2Vpc2VuOg0KQW0gQW5mYW5nIGhhdCBtYW4gZWluZSBGbMOk
    Y2hlIGdlZ2ViZW4uIEbDvGd0IG1hbiBlaW5lIEdlcmFkZSBoaW56dSwga29tbXQgMSBGbMOkY2hlIGhpbn
    p1LiBGw7xyIGVpbmUgd2VpdGVyZSBHZXJhZGUga29tbWVuIDIgRmzDpGNoZW4genUgZGVuIGJlc3RlaGVu
    ZGVuIHp3ZWllbiBoaW56dS4gRsO8Z3QgbWFuIGRpZSBkcml0dGUgR2VyYWRlIGhpbnp1LCBrb21tZW4gMy
    BGbMOkY2hlbiBoaW56dSwgYWxzbyBpbnNnZXNhbXQgNyB1c3cuIEFsc28gaXN0IGRpZSBBbnphaGwgZGVy
    IEZsw6RjaGVuIG1pdCBIaWxmZSBkZXMga2xlaW5lbiBHYXXDnzoNCltsYXRleF0NCloobik9MStcc3VtXG
    xpbWl0c197az0xfV5uIGs9MStcZnJhY3tuKG4rMSl9ezJ9PVxmcmFjezF9ezJ9KG5eMituKzIpLg0KWy9s
    YXRleF0=
    

  • Mod

    Jodocus schrieb:

    Wie bist du darauf gekommen, das gleiche Verfahren wie ich zu benutzen?

    Etwas, das man für alle natürlichen Zahlen zeigen will, schreit für mich geradezu nach Induktion. Da habe ich an gar nichts anderes gedacht. In Retrospekt fühle ich mich jetzt dumm, dass ich die einfache Summenformel nicht direkt erkannt habe 🙂

    Wie auch immer, meiner Meinung nach ist die Haupterkenntnis an dem Rätsel der von mir und dir geschilderte Zusammenhang über die Anzahl der Flächen, die beim Zeichnen einer Linie dazu kommen. Von da aus auf die Formel zu kommen ist dann mit egal welcher Methode nicht all zu schwer. Daher habe ich mir die eigentliche Durchführung der Induktion in meinem Beitrag auch gespart.


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