Inverse Matrix



  • Hallo,

    ich habe ein Gleichungssystem der form Ax=b. Dabei ist A eine Matrix, x und b Vektoren. Ich habe verschiedene x und b gegeben und soll A berechnen. Doch darf ich die Gleichung so nach A auflösen:

    AX=b
    AXX-1=b*X-1
    A=b*X^-1

    X ist die Matrix, deren Spaltenvektoren alle gegebenen x sind.

    ich bin mir nicht sicher, weil ich weiß, dass Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist. Wir daher XX^-1 in der zweiten Zeile wirklich zur Einheitsmatrix, wenn man von links nach rechts rechnet?

    Danke



  • Was stellst du dir unter X^-1 genau vor?



  • Egal, wie soll das Matrizenprodukt AX = b werden? Und hängt nicht b von x ab? Kannst du dein Gleichungssystem nicht lösen wie jeder andere auch? 🤡



  • Wenn du verschiedene x und b Vektoren hast, kannst Du sie zusammen zu Matritzen zusammenfassen. Dabei nimmst Du natürlich dieselbe Reihenfolge von Vektoren für beide Fälle. Also das n-te x und das n-te b sind dann jeweils die n-ten Spalten von Matritzen X und B.

    Dann hast Du folgendes Problem: A X = B wobei A gesucht ist.

    Ich würde das erstmal transponieren, damit statt der linken Seite des Produkts die rechte Seite unbekannt ist:

    <=> (A X)^T = B^T
    <=> X^T A^T = B^T

    Das ist jetzt eine bekannte Gestalt (normalerweise hantiert man mit AX=B wobei X unbekannt ist ;-)). Man kann jetzt X^T faktorisieren (z.B. LU-Zerlegung) und A über Vorwärts- und Rückwärts-Substitution berechnen.


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