Stabile Fixpunkte autonomer Differentialgleichungen



  • Ich entschuldige mich im Voraus für falsche Terminologie.

    Nehmen wir e.g. dydt=y3(ey1)2{\mathrm{d}y \over \mathrm{d}t} = y^3(e^y-1)^2. Ein Fixpunkt ist demnach natürlich y. Jedoch ist die Ableitung der rechten Seite für y=0y=0 ebenfalls null, da y2y^{2} ein Faktor beider durch die Produktregel entstehenden Summanden ist. Laut der Vorlesungs-Notizen ist der Fixpunkt demnach weder stabil noch instabil. Tatsächlich ist die Fehlerfunktion dϵdt=ϵ0{\mathrm{d}\epsilon \over \mathrm{d}t} = \epsilon \cdot 0, i.e. bleibt für t0t \rightarrow 0 konstant. Was bedeutet das nun für die Stabilität? Ein Fixpunkt kann doch kaum gleichzeitig weder stabil noch instabil sein? Intuitiv würde ich sagen, dass er instabil ist, da die Fehlerfunktion nicht gegen null läuft, andererseits ist sie aber O(1)O(1)...

    Edit: Huch, das PDF ist nicht öffentlich verfügbar. Wie dem auch sei, es definierte Instabilität/Stabilität über das Vorzeichen, welches für 0 offensichtlich nicht vorhanden ist.



  • Arcoth schrieb:

    Was bedeutet das nun für die Stabilität? Ein Fixpunkt kann doch kaum gleichzeitig weder stabil noch instabil sein?

    Nein kann er nicht, das bedeutet dass so keine Aussage getroffen werden kann (der Punkt kann entweder stabil oder instabil sein), es sind also weitere Betrachtungen mit anderen Methoden (z.B. mit Hilfe einer Lyapunov Funktion) notwendig.

    Im linearen Fall wäre übrigens eine Aussage möglich (die Ruhelage wäre dann "Grenzstabil", schwingt also bis in alle Ewigkeiten in einem endlichen Bereich, bildlich gesprochen). Da dein System aber nichtlinear ist, versagt die Methode hier.



  • Vielen Dank. Das scheint über das aktuelle Material hinauszugehen, ich frag' dann morgen einfach meinen Supervisor.



  • Arcoth, was machst du jetzt eigentlich? Hast du ein Mathestudium angefangen?



  • Mechanics schrieb:

    Arcoth, was machst du jetzt eigentlich? Hast du ein Mathestudium angefangen?

    Nicht ganz, einen Mix aus Mathe und Informatik. (Edit: Wieder ein nutzloser Link. Es wird nirgends "erklärt", nur erwähnt... Edit²: Doch, hier, ganz unten). Für pure Mathematik bin ich nicht clever genug, da müssen Jester, Bashar oder Michael ran :p

    Der OOP-Prof ist übrigens völlig dicht. Schreibt (effektiv) std::string& a = "asdf"; und antwortet auf mein Kommentar, dass dies nicht kompilieren würde, dass es sicherlich kompilieren würde. Schreibt auch char* a = "asdf" und hat "keine Lust" die offensichtliche Korrektur durchzuführen. Hat er seinen Code auch mal auf etwas anderem als VS getestet?



  • Ich bin solche Professoren gewohnt. Im Nachhinein rege ich mich darüber auch überhaupt nicht mehr auf. Ein paar Professoren waren nicht gut. Ein paar waren nicht dumm und recht gut in ihrem Fach, aber eher mäßig in der Programmiersprache, die sie dafür verwendet haben. Man sollte einfach nicht zu viel erwarten.


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