Grenzwertmengen von Teilfolgen



  • Ist es möglich, eine reelle Folge zu konstruieren, für welche die Menge der Grenzwerte aller konvergierenden Teilfolgen genau Q\mathbb{Q} ist? Mir scheint, dass jede derartige Folge auch Teilfolgen enthält, die gegen irrationale Zahlen konvergieren, aber wie kann man das formal aufzeigen?



  • Ne, das sollte nicht gehen: sei x eine Zahl in R \ Q, dann gibt es eine Folge (a_n) in Q, die gegen x konvergiert. Da jedes der a_i in Q ist, finde ich eine Teilfolge der ursprünglichen Folge, die gegen a_i konvergiert, das heißt, ich kann beliebig nah an a_i rankommen, und das egal wie weit hinten ich in der ursprünglichen Folge schon bin, also kriege ich eine neue Folge (a_k'), die gegen x konvergiert und eine Teilfolge der ursprünglichen Folge ist. Also ist x auch in der Grenzwertmenge. Tatsächlich folgt also, dass die Grenzwertmenge dann ganz R sein muss.



  • Das passt, denn der zweite Teil der Aufgabe fragt nach einer Folge für welche die Grenzwertmenge R\mathbb{R} ist. Danke!


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