beweis für integral von f(x) = x^-1



  • integral(x^-1) ist ln(x)+C
    wie ist man darauf gekommen?



  • Du hast es zwar nicht explizit angegeben, aber trotzdem will ich erst mal anmerken, dass, falls der Definitionsbereich deiner zu integrierenden Funktion R{0}\mathbb{R}\setminus\{0\} ist, so lauten die Stammfunktionen lnx+c, cR\ln|x|+c,\ c\in\mathbb{R}. Warum das so ist, kannst du dir mal alleine überlegen.
    Wie man überhaupt auf den Logarithmus gekommen ist? Indem man nach der Ableitung des ln\ln sucht und dabei die Umkehrregel bemüht.



  • Jodocus schrieb:

    Wie man überhaupt auf den Logarithmus gekommen ist? Indem man nach der Ableitung des ln\ln sucht und dabei die Umkehrregel bemüht.

    soll heißen, dass ein beweis: ln'(x) = 1/x reichen würde, um das integral (1/x) = ln(x)*dx zu beweisen. klingt jedenfalls plausibel. sehe ick das richtig?



  • seekhelp schrieb:

    Jodocus schrieb:

    Wie man überhaupt auf den Logarithmus gekommen ist? Indem man nach der Ableitung des ln\ln sucht und dabei die Umkehrregel bemüht.

    soll heißen, dass ein beweis: ln'(x) = 1/x reichen würde, um das integral (1/x) = ln(x)*dx zu beweisen. klingt jedenfalls plausibel. sehe ick das richtig?

    Genau, der Fundamentalsatz der Analysis garantiert dir das.



  • Jodocus schrieb:

    Genau, der Fundamentalsatz der Analysis garantiert dir das.

    viele dank!

    man kann mit exp(ln(x))=x beginnen, dann beide seiten ableiten, usw. habe es gerade ergoogelt.



  • Falls die Frage historisch gemeint war: Damals hatte man diese Werkzeuge noch nicht zur Verfügung.

    https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_logarithms#Natural_logarithm

    Wikipedia schrieb:

    In 1649, Alphonse Antonio de Sarasa, a former student of Grégoire de Saint-Vincent, related logarithms to the quadrature of the hyperbola, by pointing out that the area A(t) under the hyperbola from x = 1 to x = t satisfies

    A(tu)=A(t)+A(u)A(tu) = A(t) + A(u)


Log in to reply