grössere mehrdeutigkeit bei + als bei * ?



  • angenommen ick habe nur die natürlichen zahlen 0 ... 10

    um durch addition zweier dieser zahlen auf 10 zu kommen, habe ich viele möglichkeiten: 0+10, 1+9, 2+8, ..., 5+5, ..., 10+0, 9+1, ... usw.
    geschätzt 21 verschiedene additionen ergeben 10.

    bei multiplikation werden es schon entschieden weniger:
    1*10, 2*5, 10*1, 5*2 und aus die maus.

    meine frage nun: kann man diese beobachtung auf alle natürlichen zahlen ausdehnen?
    gibt es gar ein bekanntes verhältnis?

    btw, für gerade zahlen wäre die anzahl der additonen 2n+1 und für ungerade 2n.
    die anzahl der multiplikationen müsste die anzahl der teiler einer zahl sein.

    hmmm... während ick das hier schreibe, beantworte ich mir die frage fast selbst, lol.

    egal, vielleicht hat jemand was dazu zu sagen. 🙂



  • > die anzahl der multiplikationen müsste
    Jups.
    https://de.wikipedia.org/wiki/Teileranzahlfunktion#Asymptotik



  • Bei Teilerfragen ist es immer auch ganz nett, verschiedene Zahlensysteme zu vergleichen.

    (und Begriffswelten, Teiler, Zähler, Mengen, Platzhalter, Dimensionen usw...)
    (1 + 1 = 10)
    (12, 24, 36, 48, 60..)(6)



  • nachtfeuer schrieb:

    Bei Teilerfragen ist es immer auch ganz nett, verschiedene Zahlensysteme zu vergleichen.

    (und Begriffswelten, Teiler, Zähler, Mengen, Platzhalter, Dimensionen usw...)
    (1 + 1 = 10)
    (12, 24, 36, 48, 60..)(6)

    nee, darstellung in irgendeinem stellenwertsystem oder so, ist egal. mir geht es rein um die natürlichen zahlen.

    mein beispiel ist im zehnersystem, weil das bei uns das üblichste ist.

    btw, danke an volkard. interessante wiki-seite. 🙂



  • Die Teiler und die Darstellung als Summe von Zahlen ist völlig unabhängig vom verwendeten Stellenwertsystem. Insofern ist es völliger quatsch da verschiedene Systeme zu betrachten.



  • Man kann die Beobachtung relativ leicht ausdehnen. Besonders viele multiplakative Zusammensetzungen bekommst Du wenn eine Zahl lauter verschiedene Primafaktoren hat. Wenn Du jetzt aber einen Primafaktor abdividierst, dann schrumpft die Zahl sehr stark. Du kannst also höchstens log2n\log_2 n solche Teiler haben. Wieviele Möglichkeiten bekommst Du dann, um die Zahl als Produkt darzustellen? Na Du kannst für jeden Primafaktor auswählen ob er dabei sein soll oder nicht, das ergibt 2log2n=n2^{\log_2 n} = n Möglichkeiten, und genau soviel sind es auch in der Summe.

    Jetzt war aber die Abschätzung wieviele Primafaktoren Du bekommst reichlich optimistisch. Nachdem man nämlich die 2en weg hat, sinkt die Zahl jedesmal um Faktor 3, sodass man sogar nur log3n\log_3 n weitere Primfaktoren bekommt. Das heißt, die Abschätzung wird zu 2log_3n=2log_32log2n=n0.632^{\log\_3 n} = 2^{\log\_3 2 \cdot \log_2 n} = n^{0.63}, was also gegenüber den Summendarstellungen mit Anzahl n dramatisch absinkt. Tatsächlich kann man natürlich auch noch die 3en alle abdividieren und dann mit log_5 arbeiten etc. und bestimmt kann man die Asymptotik der Primzahlen nutzen um die Schranke noch weiter zu schärfen. Aber zumindest erklärt das schonmal das von Dir beobachtete Verhalten.


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