Ableitung bilden



  • Eine schönen guten Tag,

    ich bitte um Hilfe bei einem mathematischen Problem, denn ich bin nicht sicher, ob folgendes richtig ist:
    ccmc\frac{\partial\,c}{\partial\,m}
    Hierbei ist c eine Geschwindigkeit, welche sich aus zwei Komponenten (Meridional- und Umfangskomponente) zusammensetzt:
    c=(c_m,c_u)\vec{c} = \left(c\_m, c\_u\right)

    Ist es dann richtig folgende Zerlegung vorzunehmen:
    ccm=c_mc_mm+c_uc_umc\frac{\partial\,c}{\partial\,m} = c\_m\frac{\partial\,c\_m}{\partial\,m} + c\_u\frac{\partial\,c\_u}{\partial\,m}
    Vielen Dank für eine Antwort mit einer kurzen Erklärung bzw. einen Hinweis, wo ich dies nachlesen kann.

    (P.S.: Ich bitte um Entschuldigung, denn offenbar wird mein LateX-Code nicht richtig angezeigt....)


  • Mod

    Hi,

    deinen Beitrag habe ich gerade nicht so richtig gelesen (keine Zeit...), aber du hast bei dir BBCode deaktiviert, wodurch man ihn nicht richtig lesen konnte. Ich habe das bei dir editiert, beim nächsten Mal bitte selber aufpassen.

    edit: Großartig, jetzt hast du es zurück editiert. Wenn du aktiv nicht möchtest, dass man deinen Beitrag nicht lesen kann, dann lasse ich das eben so stehen. 🙄



  • PS schrieb:

    Eine schönen guten Tag,

    ich bitte um Hilfe bei einem mathematischen Problem, denn ich bin nicht sicher, ob folgendes richtig ist:
    ccmc\frac{\partial\,c}{\partial\,m}
    Hierbei ist c eine Geschwindigkeit, welche sich aus zwei Komponenten (Meridional- und Umfangskomponente) zusammensetzt:
    c=(c_m,c_u)\vec{c} = \left(c\_m, c\_u\right)

    Ist es dann richtig folgende Zerlegung vorzunehmen:
    ccm=c_mc_mm+c_uc_umc\frac{\partial\,c}{\partial\,m} = c\_m\frac{\partial\,c\_m}{\partial\,m} + c\_u\frac{\partial\,c\_u}{\partial\,m}
    Vielen Dank für eine Antwort mit einer kurzen Erklärung bzw. einen Hinweis, wo ich dies nachlesen kann.

    (P.S.: Ich bitte um Entschuldigung, denn offenbar wird mein LateX-Code nicht richtig angezeigt....)

    Hallo!
    Deine Formel stimmt nur auf einer Kugeloberfläche mit Radius 1. Für beliebige Radii sollte ccm=1r(c_mc_mm+c_uc_um)\vec c\cdot\frac{\partial\vec c}{\partial m}=\frac{1}{r}\left(c\_m\frac{\partial c\_m}{\partial m}+c\_u\frac{\partial c\_u}{\partial m}\right) gelten. Ich nahm hierbei an, dass dein m der Polarwinkel θ\theta und dein c in einer lokalen Orthonormalbasis der Kugelkoordinaten gegeben ist.

    Edit: @ SeppJ, sei nicht so schnell so pampig, vielleicht hat er nur gleichzeitig mit dir versucht, es zu fixen.



  • Hallo,

    m ist die Meridionalkoordinate, welche wie folgt gebildet wird:
    dm=(dx2+dr2)dm = \sqrt{(dx^2 + dr^2)}.

    Der Index "u" steht für die Umfangrichtung. Ich suche also nicht nach einer Ableitung in Umfangs- bzw. Theta-Richtung!



  • Theta ist der Polarwinkel (und nicht der Azimutwinkel, siehe Skizze auf Wikipedia!) der Kugelkoordinaten. Was für Koordinaten verwendest du? Bitte schreibe mal die Koordinatentransformationen, ausgehend von irgendwelchen bekannten Koordinaten (kartesich, Kugel, Zylinder, Parabolisch, Elliptisch...) auf. Was ist x?



  • Guten Morgen,

    ich habe keine gute Erklärung zu den Achsen gegeben. Das möchte ich hiermit gerne ändern:

    Das Koordinatensystem, welche ich verwenden möchte, ist ein zylindrisches bestehend aus drei Koordinaten x, r, theta.

    x: ist die axiale Richtung, parallel zu einer Rotationsachse
    r: zeigt in die radiale Richtung
    theta: zeigt in die Umfangsrichtung.

    Die Meridioanalkoordinate m vereinigt also x und r und ist so etwas wie eine konturangepasste Richtung.

    Hilft das?



  • PS schrieb:

    Hilft das?

    Und wie sieht die Transformation von Zylinderkoordinaten in u aus? Oder soll u=θu=\theta sein? Nicht, dass es nicht ginge, aber (m,u)(m, u) sieht mir dann nicht mehr nach einem orthogonalen Koordinatensystem aus.
    Deine "meridionale" Koordinate (der Begriff liefert bei Google nichts) ist nichts anderes als die Radialkoordinate der Kugelkoordinaten.



  • Also worauf ich hinaus will ist das: allgemein hast du irgendein normiertes Basisvektorfeld e^xi\hat e_{x_i}, sodass c=i=1nc_ie^_xi\vec c=\sum\limits_{i=1}^n c\_i\hat e\_{x_i}, wobei xix_i deine Koordinatenfunktionen sind. Du suchst im Prinzip die Richtungsableitung von c\vec c in Richtung irgendeiner deiner Koordinaten. Du musst also die entsprechende Spalte der Jacobimatrix mit dem Skalierungsfaktor (also der inversen Norm des Basisvektors, der i.A. nicht 1 ist, aber nun mal von der Wahl der Koordinaten abhängt) multiplizieren, um die gewünschte Ableitung zu bekommen, die in der gleichen Basis wie c steht, sodass du dann das Skalarprodukt auch komponentenweise ausrechnen kannst.


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