Existenz einer Epsilon-Umgebung



  • Sei [a,b] ein reelles Intervall.
    Gibt es eine Epsilon-Umbegung von a?


  • Mod

    Wie wäre es mit [a, (a+b)/2)?



  • Die Frage ist: In welchem Raum eine epsilon-Umgebung?



  • Kenner der Topologie schrieb:

    Die Frage ist: In welchem Raum eine epsilon-Umgebung?

    Im Reellen.

    SeppJ schrieb:

    Wie wäre es mit [a, (a+b)/2)?

    Ja, ne, ich meine eine offene Epsilon-Umgebung.
    Da gibt's wohl keine! 😮


  • Mod

    Wenn der Raum der gesamte reelle Zahlenraum ist, dann gibt es keine solche Umgebung. Deine Frage war undeutlich formuliert, wie du schon an Kenner der Topologies Gegenfrage erkennen kannst. Ich ging davon aus, dass du das Intervall selbst als Raum sein sollte. In dem Fall war mein Vorschlag eine absolut korrekte Antwort, da es auf dem Intervall eine offene Menge ist.



  • SeppJ schrieb:

    Wenn der Raum der gesamte reelle Zahlenraum ist, dann gibt es keine solche Umgebung. Deine Frage war undeutlich formuliert, wie du schon an Kenner der Topologies Gegenfrage erkennen kannst. Ich ging davon aus, dass du das Intervall selbst als Raum sein sollte. In dem Fall war mein Vorschlag eine absolut korrekte Antwort, da es auf dem Intervall eine offene Menge ist.

    Okay, mag sein, dass die Frage nicht eindeutig formuliert ist sorry.
    Hier sollen a und b reelle Zahlen sein, a < b, [a,b] soll ein abgeschlossenes Intervall sein, also eine Teilmenge der reellen Zahlen. Die Frage ist, ob es eine offene Epsilon-Umgebung von a gibt.
    🙂


  • Mod

    Das ist ja immer noch die gleiche undeutliche Fragestellung, bei der du ungeklärt lässt, ob du mit dem Intervall den metrischen Raum meinst, in dem du eine Umgebung suchst, oder ob das Intervall eine Einschränkung sein soll, während die Gesamtheit der reellen Zahlen deinen metrischen Raum bildet. Letzteres ist übrigens äquivalent zu der Frage, ob dein Intervall bereits eine offene Umgebung von a ist, was es offensichtlich nicht ist.



  • SeppJ schrieb:

    Das ist ja immer noch die gleiche undeutliche Fragestellung, bei der du ungeklärt lässt, ob du mit dem Intervall den metrischen Raum meinst, in dem du eine Umgebung suchst, oder ob das Intervall eine Einschränkung sein soll, während die Gesamtheit der reellen Zahlen deinen metrischen Raum bildet. Letzteres ist übrigens äquivalent zu der Frage, ob dein Intervall bereits eine offene Umgebung von a ist, was es offensichtlich nicht ist.

    😕

    Es gilt aR und bRa \in \mathbb{R} \ und \ b\in \mathbb{R}.
    Also z.B. a=3 und b=4, dann wäre das Intervall [3,4]. In dem Intervall wären dann alle reellen Zahlen von 3 bis 4, inklusive der 3 und der 4.
    Ist das auch unklar? 😕


  • Mod

    Sei d(x,y) die übliche Metrik auf den reellen Zahlen. Es ist unklar, auf welche der beiden folgenden sich deine Frage bezieht:
    1. Die Existenz einer auf [a,b] beschränkte ε-Umgebung von a in dem metrischen Raum (R, d).
    2. Die Existenz einer ε-Umgebung von a in dem metrischen Raum ([a,b], d).
    Du meintest 1., aber offenbar war dies keinem deiner Leser klar.



  • Das mag alles sein 🙂
    Mir geht es um einen Beweis aus den Analysis-Grundlagen. Den Begriff Metrik hatten wir da noch nicht.



  • ogg schrieb:

    Sei [a,b] ein reelles Intervall.
    Gibt es eine Epsilon-Umbegung von a?

    Ja, warum sollte es keine geben? Sie liegt dann nicht ganz im Inervall [a,b].


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