e-Funktion - es kann nur eine geben - Brett vor dem Kopf!



  • Die Funktion f soll differenzierbar sein und es soll f = f' gelten.
    Man kann zeigen, dass es mit diesen Voraussetzungen eine reelle Zahl c gibt, sodass f = c•exp ist.

    Wie kann man daraus schließen, dass die Funktion exp die einzige differenzierbare Funktion f mit f = f' und f(0) = 1 ist?



  • bumaruka schrieb:

    Die Funktion f soll differenzierbar sein und es soll f = f' gelten.
    Man kann zeigen, dass es mit diesen Voraussetzungen eine reelle Zahl c gibt, sodass f = c•exp ist.

    Wie kann man daraus schließen, dass die Funktion exp die einzige differenzierbare Funktion f mit f = f' und f(0) = 1 ist?

    f(0) = c•exp(0) → c = 1 also f = exp



  • `

    f = f' =>

    f' / f = 1 =>

    log f = 1

    `

    integrieren auf beiden Seiten; wegen d/dx (const) = 0 nur bis auf additive Konstante c eindeutig:

    `

    log f(x) = x + c =>

    f(x) = exp(x+c) =>

    f(x) = exp(x) * exp(c) => 0 einsetzen für x:

    f(0) = exp(0) * exp(c) = exp(c)

    `

    Aus f(0) = 1 und exp(0) = 1 folgt exp(c) = 1, also c = 0.

    also f(x) = exp(x), quodlicet jovi (oder wie das heißt)



  • dritte Zeile ("log f = 1") weglassen!


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