Beschränktheit zeigen



  • Hallo,
    ich hab hier die rekursiv definierte Folge

    a1:=1,an+1=1+2ana_{1} := 1, a_{n+1} = \sqrt{1+2a_{n}}

    Man soll zeigen, dass die Folge < 3 (beschränkt) ist, sowie Monotonie nachweisen und den Grenzwert bestimmen.
    Monotonie klappt super mit Induktion

    Induktionsanfang: a_{1} < a_{2} \\1 < \sqrt{3}

    Induktionsvoraussetzung: an<an+1a_{n} < a_{n+1}
    Induktionsbeweis/Induktionsbehauptung:

    a_{n+1} < a_{n+2}\\ \sqrt{1+2a_{n}} < \sqrt{1+2a_{n+1}} \quad|()^2\\ 1+2a_{n} < 1+2a_{n+1}\\ a_{n} < a_{n+1}

    Das klappt super, weil unten jetzt wieder die Voraussetzung steht. Aber diese Beschränkheit krieg ich nicht hin:

    Induktionsanfang: a_{1} < 3 \\1 < 3

    Induktionsvoraussetzung: an<3a_{n} < 3
    Induktionsbeweis/Induktionsbehauptung:

    a_{n+1} < 3\\ \sqrt{1+2a_{n}} < 3 \quad|()^2\\ 1+2a_{n} < 9\\ a_{n} < 4

    Da steht unten nicht mehr die Voraussetzung. Was mache ich falsch 😕



  • a\_n < 3 \implies 1+2a\_n < 1 + 2\cdot3 = 1 + 6 = 7 \implies a_{n+1} < \sqrt{7} < \sqrt{9} = 3



  • Übrigens ist dein Beweis der Monotonie falsch.



  • Es geht so: Es ist an1a_n \geq 1 (zeigen!). Daher ist a\_n < a\_{n+1} = \sqrt{1+2a\_n} \iff a\_n^2 < 1+2a\_n \iff (a\_n-1)^2 a\_n^2-2a\_n+1 < 1+1 = 2 \iff a\_n-1 < \sqrt{2} \iff a\_n < 1+\sqrt{2} Und jetzt ist a\_n < 1+\sqrt{2} \implies a\_{n+1} = \sqrt{1+2a_n} < \sqrt{1+2(1+\sqrt{2})} = \sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}



  • Dabei gilt die letzte Gleichheit wegen \sqrt{3+2\sqrt{2}}^2 = (1+\sqrt{2})^2 \iff 3+2\sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 2



  • Ahh, super, danke. Kann man das denn nicht mit Induktion zeigen? Ich verstehe nicht, wieso der Monotoniebeweis falsch sein soll, es passt doch alles..



  • Seh ich das richtig, dass man Monotonie im Allgemeinen ohne Induktion zeigt, und Beschränkheit mit? Oder brauch man die gar nicht?



  • Mein Beweis ist ein Induktionsbeweis.


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