DGL Substitution



  • Hallo,
    ich würde gerne folgende DGL

    v=gγmvv' = g - \frac{\gamma}{m}v

    über eine Substitution lösen. Zum Erfolg führt folgende Substitution

    v=γm(vmgγ)v' = -\frac{\gamma}{m}(v - \frac{mg}{\gamma})

    mit u=vmgγu = v - \frac{mg}{\gamma}

    Nicht zum Erfolg führen

    u=gγmvu = g - \frac{\gamma}{m}v oder, und was mich ganz besonders stört,

    v=γm(mgγv)v' = \frac{\gamma}{m}(\frac{mg}{\gamma} - v)

    mit u=mgγvu = \frac{mg}{\gamma} - v.

    Erstere und letztere Substitution unterscheiden sich bloß durch ein - im Exponenten der resultierenden Exponentialfunktion. Warum gehn die letzten beiden nicht?

    Hier hab ich mal exemplarisch die erste "Substitution" aufgeschrieben: http://www.directupload.net/file/d/4691/p82m7vdt_png.htm Die anderen hab ich analog gerechnet



  • Weil du dich verrechnest hast.
    Es muss du/dt = -u heißen und das Vorzeichen in der Exponentialfunktion ist entsprechend negativ.

    Bei so einer physikalisch motivierten DGL schadet es nicht, sich das Ergebnis kurz anzusehen und zu überlegen, ob das physikalisch Sinn macht.
    Exponentiell anwachsende Geschwindigkeiten sollten einem da zu denken geben.



  • Wie meinst du das mit verrechnet? Ich hab u doch selbst definiert als diesen Term da, wieso soll das dann -u heißen?
    Und selbst wenn ist das Ergebnis mit dem - immer noch falsch, richtig geht es nämlich nur mit dieser Substitution: http://www.directupload.net/file/d/4691/3ksl5hkf_png.htm. Das sieht Wolfram Alpha auch so.
    Und ich verstehe immer noch nicht, wieso die anderen Substitutionen nicht dasselbe Ergebnis liefern.



  • Dein zweites Ergebnis sieht richtig aus.
    Es geht aber mit jeder Substitution, wenn man korrekt rechnet.
    Wenn du u:=gγmvu := g - \frac{\gamma}{m} v definierst, ist u=γmvu' = -\frac{\gamma}{m} v', bzw. v=mγuv' = - \frac{m}{\gamma} u', also mγu=u-\frac{m}{\gamma} u' = u und nicht u=uu' = u.



  • Ah okay, jetzt hab ichs glaub ich verstanden: http://www.directupload.net/file/d/4691/riq6c8un_png.htm

    Danke 🙂


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