Stochastik: Würfelergebnis, Wahrscheinlichkeit mehrmaliger Würfe



  • Hi mal wieder,

    die letzte Mathe-Stunde ist schon ein wenig länger her. Daher wollte ich auf Eure Hilfe zurückgreifen.

    Das Würfelergebnis x soll mit n Würfeln (d6) m mal erzielt werden. Wie viele Würfe w benötige ich, damit dies mit p-prozentiger Wahrscheinlichkeit eintritt?

    Bisher habe ich berechnet:
    -Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten für Würfelergebnisse von 1-12 bei 1 und 2 Würfeln. (Bsp.: 5 Kombinationsmöglichkeiten um eine 7 mit 2 Würfeln zu erzielen.)
    -Jeweilige Wahrscheinlichkeiten mit der ein bestimmtes Würfelergebnis bei einmaligen Wurf mit 1 und 2 Würfeln eintritt. (Bsp.: 0% eine 12 mit nur einem Würfel zu erzielen ;))

    Ich nehme mal an, dass es irgendwas mit (100% - Gegenwahrscheinlichkeit) sein sollte.
    Bin ich mit (n über k) etc. auf dem Holzweg?

    Für ein paar Stichwörter oder gar eine Formel wäre ich sehr dankbar.



  • $P(\text{mit nn Würfeln einmal die Augensumme xx}) = P(\sum_{i=1}^nX_i = x)$ berechnest du mit https://de.wikipedia.org/wiki/Faltung_(Stochastik) XiX_i ist die Zufallsvariable "ein Würfelwurf".

    Dann berechnest du $P(\text{mit nn Würfeln mm-mal die Augensumme xx})$ daraus mittels https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung

    Klar? 🙂 🕶 😋 👍 💡



  • Danke schonmal für den Post!

    Ich werde mir mal die genannten Stichwörter näher (evtl. auch länger) angucken.

    Wenn dann noch Fragen sein sollten, melde ich mich wieder.



  • Hast du noch Fragen? 😋




  • > [w] benötige ich, damit dies mit 90-prozentiger [p] Wahrscheinlichkeit eintritt?

    Wahrscheinlichkeit mit zwei Würfeln eine 7 zu würfeln liegt bei 1/6

    also:
    (n!/(3!*(n-3)!)) * (1/6)^3 * (5/6)^(n-3) = 90

    Wer möchte das mal nach n umformen?



  • Das wäre doch die Wahrscheinlichkeit bei n Würfen genau 3 mal eine 7 zu Würfeln, oder? Ein kurzer Plot der Funktion zeigt auch, dass es keine Lösung für P=0,9 in dem Fall gibt.

    Sinnvoller wäre doch die Frage, wie häufig muss gewürfelt werden um mit 90%iger Wahrscheinlichkeit mindestens dreimal eine 7 zu würfeln.



  • Also gefragt war ja, wie oft man würfeln muss um mit 90%ziter Wahrscheinlichkeit 3 mal eine 7 zu würfeln. Da kann man genau 3 mal oder mindestens 3 mal draus interpretieren.

    Für genau 3 mal: (n!/(3!*(n-3)!)) * (1/6)^3 * (5/6)^(n-3) = 0,9

    Dafür sollte es auch ein Lösung geben. Nur, wie kommt man an n?

    Für mindestens 3 mal müsste man wohl die kumulierte Binomialverteilung von 3 bis n mal berechnen. Also:

    (n!/(3!(n-3)!)) * (1/6)^3 * (5/6)^(n-3) = 0,9
    + (n!/(3 + 1!
    (n-3+1)!)) * (1/6)^(3+1) * (5/6)^(n-3+1) = 0,9
    + (n!/(3 + 2!(n-3+2)!)) * (1/6)^(3+2) * (5/6)^(n-3+2) = 0,9
    + ....
    bis + (n!/(n!
    (n-n)!)) * (1/6)^(n) * (5/6)^(n-n) = 0,9

    Das erscheint mir noch komplizierter.



  • > Dafür sollte es auch ein Lösung geben.

    Ich hab jetzt mal ein Rechner bemüht:

    bei 3 Würfen leigt die Wahrscheinlichkeit bei 0.46%
    bei 15 bei 23.63%
    bei 18 bei 24.52
    bei 20 bei 23.79%
    bei 25 bei 19.29%
    bei 30 bei 13.68%
    bei 100 bei 0.00156%

    Könnte man jetzt also für n 3; 4; 5; 6 usw. eingeben, die Wahrscheinlichkeiten addierten, bis man bei 90% wäre, um zu wissen, wie oft man würfeln muss um mit 90%zitiger Wahrscheinlichkeit 3 mal die 7 zu Würfeln? Bei 12 mal würfeln kommt man so auf 94,85%

    > Nur, wie kommt man an n?

    Die Frage, die mich am meisten interessiert, ist ob man (n!/(3!*(n-3)!)) * (1/6)^3 * (5/6)^(n-3) = 0,9 nach n auflösen kann.



  • > Bei 12 mal würfeln kommt man so auf 94,85%

    Bei 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12, also bei 75 mal



  • > Könnte man jetzt also für n 3; 4; 5; 6 usw. eingeben, die Wahrscheinlichkeiten
    > addierten, bis man bei 90% wäre, um zu wissen, wie oft man würfeln muss um mit
    > 90%zitiger Wahrscheinlichkeit 3 mal die 7 zu Würfeln?

    Das geht wohl so nicht.

    Grundsätzlich fragt sich auch % von was? Denn je häufiger gewürfelt wird, desto wahrscheinlicher ist es ja, dass 3 mal eine 7 gewürfelt wird.

    Wenn 3 mal gewürfelt wird, besteht nur einmal die Möglichkeit 3 mal eine 7 zu würfeln und rund 217 mal die Möglichkeit nur einmal, zweimal oder keinmal eine 7 zu würfeln.

    Wenn 100 mal gewürfelt wird, besteht 161700 die Möglichkeit 3 mal eine 7 zu würfeln, aber es bestehet auch rund 10360000000 mal die Möglichkeit nur einmal, zweimal oder keinmal eine 7 zu würfeln

    Im Vergleich zu 3 mal würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit 3 mal eine 7 zu würfeln also

    bei 100 mal würfeln bei 161700/1
    bei 9 mal würfeln bei 84/1
    bei 10 würfeln bei 120/1

    Bei 9 mal würfeln sollte die Wahrscheinlichkeit also bei 84% gegenüber 3 mal würfeln liegen und bei 10 mal bei 120% gegenüber 3 mal



  • > Wenn 100 mal gewürfelt wird, besteht 161700 die Möglichkeit 3 mal eine 7 zu würfeln,
    > aber es bestehet auch rund 10360000000 mal die Möglichkeit nur einmal, zweimal oder
    > keinmal eine 7 zu würfeln

    Da fehlen aber die 4 – 100 mal 3 mal eine 7 zu würfeln

    Mit der kumulierten Binominalverteilung kommt man bei 31 Würfen auf eine Wahrscheinlichkeit von 90,94% mindestens 3 mal eine 7 zu würfeln, also 3 – 31 mal gegenüber der Wahrscheinlichkeit nur einmal, zweimal oder keinmal eine 7 zu würfeln.

    Bei 12 mal würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit bei 32,26% mindestens 3 mal eine 7 zu würfeln, also 3 – 12 mal gegenüber der Wahrscheinlichkeit nur einmal, zweimal oder keinmal eine 7 zu würfeln.

    Bei 12 mal würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 mal eine 7 zu würfeln aber auch bei 3225/1 gegenüber der Wahrscheinlichkeit bei 3 mal würfeln 3 mal eine 7 zu würfeln.

    Bei 5 mal würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 mal eine 7 zu würfeln bei 16/1 gegenüber der Wahrscheinlichkeit bei 3 mal würfeln 3 mal eine 7 zu würfeln.

    Bei 4 mal würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 mal eine 7 zu würfeln bei 5/1 gegenüber der Wahrscheinlichkeit bei 3 mal würfeln 3 mal eine 7 zu würfeln.



  • Mit der Matrix

    0,8333333333 - 0 - 0- 0
    0,166666666667 - 0,8333333333 - 0- 0
    0 - 0,166666666667 - 0,8333333333 - 0
    0- 0 - 0,166666666667 - 1

    komm ich auch auf 31 mal würfeln für 90%



  • > Bei 4 mal würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 mal eine 7 zu würfeln bei
    > 5/1 gegenüber der Wahrscheinlichkeit bei 3 mal würfeln 3 mal eine 7 zu würfeln.

    Liegt ca. bei 3,5/1



  • Für genau 3 mal sinkt die Wahrscheinlichkeit mit zunehmenden Würfen wieder, weil man dann eben auch häufiger eine 7 Würfeln kann. Daher kommt man nie auf 90%

    Für mindestens 3 mal würde ich das über die Gegenwahrscheinlichkeit machen. Also

    1-P(keine 7)-P(genau eine 7) - P(genau zwei 7) = 0,9



  • Danke für die ganzen Posts und sorry, dass ich das (Hobby-)Projekt etwas aus den Augen verloren hatte.

    Kleine Berichtigung: Natürlich macht es recht wenig Sinn, nach genau 90% zu suchen. Die Fragestellung sollte daher eher heißen: "damit das Ereignis mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkeit eintritt?"

    Binomialverteilung war das richtige Stichwort gewesen. Ich werde aber aus o.g. Grund davon absehen, das ganze nach n umzuformen.

    Vielmehr werde ich anhand der Tabelle mit den kumulierten Werten ein passendes n ablesen.


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