Orthonormalbasis der stetigen Funktionen



  • Hallo

    Eine Aufgabe der dieswöchigen LinAlg-Übung (ich habe sie schon gelöst): https://i.imgur.com/onoWi2t.png
    Wie man sieht, kann ich nun mit fn und gm einen beliebigdimensionalen Untervektorraum von C0 aufspannen. Solche fn und gm sind eine Orthonormalbasis jener Unterräume. Aber wieso sollte nun \operatorname{span}\left ( \left \{ f\_n \mid n \in \mathbb{N}\_0 \right \} \cup \left \{ g_m \mid m \in \mathbb{N} \right \} \right ) = C^0 gelten?
    (In einer Vorlesung hat der Prof mal gesagt, dass Basen von Vektorräumen immer endliche Mengen sind, also bin ich mir nicht mal sicher, ob meine Notation oben überhaupt Sinn macht. Aber wieso verbietet man das explizit? Wieso ist z.B. {xxnnN0}\left \{ x \mapsto x^n \mid n \in \mathbb{N}_0 \right \} keine Basis von \mathbb{K}[x]?)

    Was ist der Vorteil dieser Orthonormalbasis gegenüber anderen, z.B. den Legendre-Polynomen? Und gehe ich recht in der Annahme, dass es sich bei der Transformation von C0 in einen dieser von fn und gm aufgespannten Unterräume um die kontinuierliche Fourier-Transformation handelt? (Wir haben Fourier-Transformationen erst im zweiten Semester, daher habe ich keine Ahnung davon. Lediglich, dass man da Funktionen mittels sin/cos approximiert.)

    Danke im Voraus und lieben Gruß



  • Das ist nur eine Schauder-Basis, keine Hamel-Basis.



  • Dass die Funktionen keine Basis bilden, sieht man so: C⁰ hat überabzählbare Dimension, aber deine Funktionen spannen einen Unterraum von abzählbar unendlicher Dimension auf.



  • Fytch schrieb:

    (In einer Vorlesung hat der Prof mal gesagt, dass Basen von Vektorräumen immer endliche Mengen sind, also bin ich mir nicht mal sicher, ob meine Notation oben überhaupt Sinn macht. Aber wieso verbietet man das explizit? Wieso ist z.B. {xxnnN0}\left \{ x \mapsto x^n \mid n \in \mathbb{N}_0 \right \} keine Basis von \mathbb{K}[x]?)

    Basen müssen nicht endlich sein. Nur Linearkombinationen sind immer endlich in der Algebra. Das ist eine Basis des Polynomrings.



  • Danke für die Antworten!

    Kenner der Basen schrieb:

    Das ist nur eine Schauder-Basis, keine Hamel-Basis.

    Ich hab dazu in "Fischer - Lineare Algebra" leider nichts gefunden.
    Auf Wikipedia steht:

    In der Funktionalanalysis wird eine Folge (bn)nN{\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }} eines Banachraums als Schauderbasis bezeichnet, falls jeder Vektor bezüglich ihr eine eindeutige Darstellung als (unendliche) Linearkombination hat. Sie ist zu unterscheiden von der Hamelbasis, von der verlangt wird, dass sich jeder Vektor als endliche Linearkombination der Basiselemente darstellen lässt.

    Macht Sinn. Also wenn die Funktionen eine Schauder-Basis von C0 sind, dann kann man jede stetige Funktion durch eine unendliche Linearkombination solcher frequenz-fremder Sinusse / Cosinusse darstellen.

    Opensource-Bastelschrott schrieb:

    C0 hat überabzählbare Dimension

    Das ist mir neu. Der andere Poster sagte aber, dass sie eine Basis bilden.
    Dass zwei unendlichdimensionale Vektorräume unterschiedliche Dimensionen haben können, ist mir neu. Zeigt man das so ähnlich, wie die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen? Sprich, dass zu jeder abzählbar unendlichen Linearkombination ein orthogonaler Vektor existiert?



  • Fytch schrieb:

    Opensource-Bastelschrott schrieb:

    C0 hat überabzählbare Dimension

    Das ist mir neu. Der andere Poster sagte aber, dass sie eine Basis bilden.
    Dass zwei unendlichdimensionale Vektorräume unterschiedliche Dimensionen haben können, ist mir neu. Zeigt man das so ähnlich, wie die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen? Sprich, dass zu jeder abzählbar unendlichen Linearkombination ein orthogonaler Vektor existiert?

    Genau. Zum Beispiel hat der algebraische Abschluss von Q als Q-Vektorraum abzählbar unendliche Dimension und C als Q-Vektorraum überabzählbar unendliche Dimension. Also können sie nicht isomorph sein. Zwei K-Vektorräume sind genau dann K-isomorph, wenn sie Basen gleicher Kardinalität haben.



  • Fytch schrieb:

    Kenner der Basen schrieb:

    Das ist nur eine Schauder-Basis, keine Hamel-Basis.

    Ich hab dazu in "Fischer - Lineare Algebra" leider nichts gefunden.

    Das ist ja auch keine Lineare Algebra. Fang mal an die Begriffe sauber auseinanderzuhalten. Eine Basis im Sinne der linearen Algebra wird auch als Hamel-Basis bezeichnet. Eine Schauder-Basis ist was anderes.