Wachstumsformel herleiten



  • Ich versuche gerade, die Wachstumsformel anhand eines Beispels zu verstehen.
    Ich gehe davon aus, dass zum Zeitpunkt N(0) = 1 Bakterium da war und dass sich die Anzahl pro Zeitschritt verdoppelt.

    Also N(0) = 0, N(1) = 2, N(2) = 4, N(3) = 8, N(t) = 2^t

    Laut Buch hier ist die Formel für die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt t+dt:

    N(t + dt) = N(t) + c*N(t)*dt

    woraus N´(t) = cN(t) gemacht wird.
    Für mein Beispiel wäre c = 1, da die Änderung ja 1
    N(t) pro Zeitschritt ist.

    Die Lösung zu N´(t) = N(t) ist aber e^t + C und nicht 2^t.

    Wo liegt da der (Denk)Fehler?



  • Der Fehler ist Dein setzen von c=1.
    Du bestimmst c in einem diskreten Zeitschritt und gehst erst danach zum Kontinuum über. Aber so geht das nicht, denn bei kleineren dt würde auch c kleiner.
    Also lass c erstmal unbestimmt.
    Im Grenzübergang ergibt sich also die DG
    N´(t) = c * N(t)

    Die Lösung davon ist
    N(t) = exp(c*t) + K

    Deine Bedingungen ergeben:
    N(0) = 1 => K = 0
    N(1) = 2 => c = ln(2)

    Und siehe da, mit den Rechenformeln von Exp/Ln ist das
    N(t) = exp(ln(2) * t) = exp(ln(2))^t = 2^t



  • Kleine Korrektur: Die Lösung von N'(t) = c*N(t) ist N(t) = K*exp(c*t). Also K=1 im Beispiel.