Fragen zu Konfidenzintervallen



  • Hallo,

    bin am versuchen Konfidenzintervalle besser zu verstehen und zu berechnen.

    Aus Wikipedia habe ich die Verteilung von Mittelwerten der Stichprobengrösse nn normalverteilter Zufallsvariablen: X¯N(μ,σn)\bar X \sim N \left( \mu, \frac{ \sigma}{\sqrt{n} } \right)
    Aus math.stackexchange.com die Verteilung von Mittelwerten der Stichprobengösse nn von exponentialverteilten Zufallsvariablen: X¯Γ(n,nλ)\bar X \sim \Gamma(n, n\lambda)

    Mit boost Math/Statistical Distributions habe ich ein 95% Konfidenzintervall oder 95% Zentrales Schwankungsintervall berechnet und anhand eines Beispiels (normalverteilt und gegebene bekannte Varianz) n=10n=10, x¯=10\bar x=10, σ=2\sigma=2 (Lothar Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 3, Seite 524) verglichen und kam zum gleichen Ergebnis (Beispiel aus Buch ist auf drei Nachkommastellen gerundet).

    interval normal: 8.76041 11.2396
    length_a: 1.23959 lenght_b: 1.23959 lenght: 2.47918
    

    Bild

    Dann noch die Ausgabe für Exponentialverteilung λ=0.25\lambda=0.25 und der Vergleich mit der Näherung mit dem Zentralen Grenzwertsatz.

    Generate Samples ... done
    Calculate SampleFunctionResults ... done
    Generate R script ...
    
    interval normal: 1.52082 6.47918
    length_a: 2.47918 lenght_b: 2.47918 lenght: 4.95836
    
    interval gamma: 1.91816 6.83392
    length_a: 2.08184 lenght_b: 2.83392 lenght: 4.91577
    
    difference a: 0.397336 difference b: 0.354741 difference: 0.0425944
    
    Write to file samples.csv ...done
    done
    Run R script
    null device
              1
    open png file
    

    Bild (Stil "center location")
    Bild (Stil 2)

    Wollte Fragen, ob jemand Bücher oder Links kennt für eine Liste mit Verteilungen von Stichprobenfunktionen und deren Herleitungen. Nehme an, dass die Summe von Zufallvariablen mit der Faltung berechnet werden kann. Die anderen Operatoren fehlen mir und auch Operatoren zwischen Zufallsvariable und Variable. Also der Schritt der Division mit der nicht-Zufallsvariable nn (oder Multiplikation mit 1n\frac{1}{n}) verstehe ich nicht.

    Oder ganz allgemein gefragt, kennt jemand Bücher zur Wahrscheinlichkeitsrechnung (z.B. ohne Lookup-Table für die Quantilsfunktion, dafür z.B. mit Fehlerfunktion).

    Habe hoffentlich alles richtig geschrieben 😟 🤔, Korrekturen sind sehr willkommen.

    Edit 1: Weiss denn jemand ob es eine englische Wikipediaseite vom Zentralen Schwankungsintervall gibt und wie dieses auf Englisch heisst?

    Edit 2: Beim zweiten Bild ist mir gerade aufgefallen, dass die Schätzfunktion bzw. Stichprobenfunktion arithmetischer Mittelwert als Modalwert (der häufigste wahrscheinlichste Wert) nicht den wahren oder tatsächlichen Wert (1λ=10.25=4)\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{0.25}=4) hat, wenn ich mich nicht täusche (auto gammamode = mode(gammadist);ergibt 3.6). Ist das etwas ähnliches wie bei der sog. korrigierten bzw. "unkorrigierten" Stichprobenvarianz? Kann man Schätzfunktionen als Teilmenge von Stichprobenfunktionen auffassen?

    Edit 3: Dann ist mir noch aufgefallen, dass die Länge des Konfidenzintervalls (in den Beispielen) nicht nur von der Stichprobengrösse abhängig ist, sondern auch von der Varianz bzw. Standardabweichung.