Zufallsvariable mit Variable multiplizieren



  • Hallo, habe folgende Frage 🙄

    Wenn man eine Zufallsvariable XX, z.B.

    XN(μ,σ)X \sim N (\mu, \sigma)

    mit nn multiplizieren möchte

    Y=XnY = X \cdot n

    wie ist dann YY verteilt?

    Zudem wollte ich noch fragen, ob man das so schreiben kann und ob es noch andere Schreibweisen gibt?

    Edit 1: Für die Normalverteilung habe ich Lösung (per Zufall) gefunden (siehe Ethem Alpaydın, Maschinelles Lernen, Seite 431): Y=aX+bY = aX+b ergibt YN(aμ+b,a2σ2)Y \sim N(a \mu + b, a^2 \sigma^2). Ich nehme an wenn b=0b=0 ergibt sich YN(aμ,a2σ2)Y \sim N(a \mu, a^2 \sigma^2). Bloss hat es keine anschauliche Herleitung und ich suche ja eigentlich eine allgemeine (auch für andere Verteilungen) anwendbare Lösung.

    Edit 2: Bekomme es nicht auf die Reihe. Also in der normalen Algebra stimmt glaube ich xy=x1y\frac {x} {y} = x \cdot \frac {1} {y} ("Zusammenhang" Division und Multiplikation) und auch z.B. 3x=x+x+x3 \cdot x = x + x + x (also um den "Zusammenhang" zwischen Addition und Multiplikation zu veranschaulichen). Also 3x=31x=1x+1x+1x\frac {3} {x} = 3 \cdot \frac {1} {x} = \frac {1} {x} + \frac {1} {x} + \frac {1} {x}. Um den arithmetischen Mittelwert (x¯=x1+x2+...+xnn\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}) zu berechnen, ist doch auch x¯=x1n+x2n+...n+xnn\bar{x}=\frac{x_1}{n}+\frac{x_2}{n}+\frac{...}{n}+\frac{x_n}{n} möglich. Aber wie jetzt das auf Zufallsvariablen anwenden 😐 😴

    Edit: Stimmt das so? Also würde es vielleicht etwas bringen zuerst die nn Zufallsvariablen XX mit nn zu dividieren bzw. mit 1n\frac{1}{n} zu multiplizieren und dann die Zufallsvariablen nn-mal addieren. Oder aber doch zuerst die Zufallsvariablen nn mal addieren und dann mit der Variable nn zu dividieren bzw. mit 1n\frac{1}{n} multiplizieren.

    X¯=X11n+...+Xn1n\bar{X} = X_1 \cdot \frac{1}{n} + ... + X_n \cdot \frac{1}{n}

    X¯=X1+...+Xnn\bar{X} = \frac{X_1 + ... + X_n}{n}

    Kennt jemand Bücher zu diesem Thema, die anschaulich und verständlich sind und die auch detailliert und doch auch allgemein sind und mit denen gute Erfahrungen gemacht wurden?