Einhüllende einer Kurvenschar berechnen



  • Hallo,

    Ich habe folgende Frage. Ich habe eine Kurvenschar bestehend aus einer Kurve (und leichte Abwandlungen dieser Kurve) die im Wikipedia-Artikel Halbwertszeit in der ersten Abbildung zu sehen sind. Zu dieser Kurvenschar suche ich die Einhüllende.

    Informationen zur Berechnung dazu habe ich schon gelesen, aber ich habe sie nicht verstanden. Deshalb frage ich ob jemand leichter verständliche Artikel kennt oder die Berechnung aufzeigen kann?

    Eigentlich habe ich es nur "angedacht". Ich finde eher ich muss es nicht unbedingt lösen, z.B. um der erste und Pseudobeste zu sein. Aber was wenn falsche Personen dies lösen und den daraus entstandenen Erfolg missbrauchen (z.B. wie Pearson oder Fisher), z.B. politisch oder sonst irgendwie.

    Also als ob es auch nicht nur positive Diskriminierung gäbe sondern auch positives Argumentum Ad Hominem oder so ähnlich..



  • Also im Prinzip brauchst du doch nur die eine Formel

    y(t)=c1ec2t+c3y(t) = c_1 \mathrm{e}^{-c_2 t} + c_3

    Jetzt ist nur die Frage, welche der Konstanten c1c_1 bis c3c_3 bei dir nicht konstant sind, sondern Scharparameter - und vor allem: ist der/sind die Parameter völlig frei oder eingeschränkt (c2c_2 wird wohl kaum 0\leq 0 sein!)? Oder ist der bei dir gar von t abhängig? Sonst ist das hier irgendwie sinnlos. Kannst du mal konkret werden? Normalerweise musst du nach dem Scharparameter ableiten, nullsetzen und ausrechnen. Nur wird ddtet=et\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{-t}=-\mathrm{e}^{-t} wohl kaum ne Nullstelle haben...

    Den 2. Teil mit Diskriminierung etc. verstehe ich nicht. Wo ist der Zusammenhang?



  • @wob Danke für die Erklärung.

    @wob sagte in Einhüllende einer Kurvenschar berechnen:

    Kannst du mal konkret werden?

    f1(x)=exln(2)t1f_1(x)=e^{-x\frac{ln(2)}{t_1}} (x0)\qquad(x \geq 0)
    f2(x)=f1(x)+f1(xt2c?)f_2(x)=f_1(x)+f_1(x-t_2\cdot c_?) (t2c?x)\qquad(t_2\cdot c_? \leq x)
    ...

    @wob sagte in Einhüllende einer Kurvenschar berechnen:

    Den 2. Teil mit Diskriminierung etc. verstehe ich nicht. Wo ist der Zusammenhang?

    Es ist glaube ich zum Teil offtopic und zum Teil hat es Zusammenhänge, die ich nicht ins Internet stellen möchte.



  • @titan99_
    Sorry, ich habs noch nicht verstanden. Was ist tnt_n bei dir? Konstant? Parameter? Und c?c_? ist ne Konstante?
    Wie wird fnf_n ermittelt?

    Du scheinst da ja was rekursives zu haben. f2 scheint ja auch von t1 und t2 abzuhängen.

    Ich hatte oben t für Zeit als den x-Wert genommen. Bei dir ist t dann was anderes. Kann t1 < 0 sein?

    Von wie vielen Parametern hängt deine Schar ab?

    Ich würde an deiner Stelle versuchen, die Funktion fsf_s mal direkt nicht-rekursiv aufzuschreiben, also:

    f_s(x) = irgendwas von s und x abhängiges, wobei s der Schar-Parameter ist

    Es ist glaube ich zum Teil offtopic und zum Teil hat es Zusammenhänge, die ich nicht ins Internet stellen möchte.

    Naja, du hast ja damit angefangen...



  • @wob Danke für die Antwort. Mir fehlen zum Teil die mathematischen Grundlagen um es rasch zu verstehen.

    Kurvenschar

    t_1: HWZ Halbwertszeit
    t_2: Dauer zwischen (offtopic/******)

    @wob sagte in Einhüllende einer Kurvenschar berechnen:

    Und c?c_?c​?​​ ist ne Konstante?

    Habe den verlinkten Funktionsplot vor einiger Zeit erstellt. c wird je Kurve mit 1 inkrementiert und fängt bei 1 an.

    Kontrolliert ob auch alles stimmt ist es nicht. Also es ist theoretischer Natur. Es kann gut auch Fehler enthalten.

    Edit:

    @wob sagte in Einhüllende einer Kurvenschar berechnen:

    Von wie vielen Parametern hängt deine Schar ab?

    Hä?

    @wob sagte in Einhüllende einer Kurvenschar berechnen:

    Ich würde an deiner Stelle versuchen, die Funktion fsf_sf​s​​ mal direkt nicht-rekursiv aufzuschreiben, also:
    f_s(x) = irgendwas von s und x abhängiges, wobei s der Schar-Parameter ist

    Hä?



  • Mir scheint, wir reden völlig aneinander vorbei. Ich habe mich in deinem letzten Post auch ständig "hä?" gefragt und habe deswegen all die Fragen gestellt.

    Ich weiß immer noch nicht, wo deine Schar ist. Du hast f1f_1 und f2f_2 angegeben. Ich wollte u.a. auch herausfinden, wie f3f_3, f4f_4 bzw. allgemein fsf_s aussieht. Und welche Werte darf ss annehmen? Nur ganze Zahlen? Positive rationale Zahlen?

    t_1: HWZ Halbwertszeit
    t_2: Dauer zwischen (offtopic/******)

    Also ist t1t_1 konstant? (oder haben wir es je nach Funktion aus der Schar mit unterschiedlich schnell bewegten Systemen zu tun und die HWZ wäre somit nicht konstant?) - und über t2t_2 weiß ich nichts. Ist das eine konstante Dauer? Oder hängt diese Dauer von der Funktion ab, also ist sie bei f3f_3 was anderes als bei f42f_{42}?

    Wenn das t1t_1 aber eine Zeit ist, dann ist xx bei dir auch eine Zeit. Daher hatte ich am Anfang auch das, was du jetzt xx nennst, tt genannt.

    Kurzum: vielleicht hat jemand anderes das Problem verstanden und kann aushelfen. Ich weiß nicht so recht, was du willst bzw. wo dein Problem ist bzw. wie deine Funktionsschar definiert ist.



  • @wob Also t1t_1 und t2t_2 sind Konstanten. Ich bin mir nicht mehr sicher, ob das was ich suche genau der Definition einer Hüllkurve entspricht (Da die gesuchte Kurve die Kurven der Kurvenschar nicht tangential berührt).

    Aber ich bin durch ausprobieren ein wenig weiter gekommen:

    f(x)=2exln(2)t1f(x)=2-e^{-x\frac{ln(2)}{t_1}} berührt genau die Enden der Kurvenschar (ich finde es zumindest plausibel, da es dies visuell bei verschiedenen Werten für t1t_1 und t2t_2 tut), wenn t1=t2t_1=t_2 🙂 .

    Funktionsplot

    Funktionsplot mit grössere Kurvenschar und einer Näherung der Kurve für die Maximalwerte.


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