Integral von Heaviside(sin(x))



  • Hallo,

    es ist gerade zu warm für mich... Ich stehe gerade vor dem Problem, dass ich folgendes integrieren möchte:

    abθ(sin(c1(xc2))) dx-\int_a^b \theta(-\sin(c_1(x - c_2))) \ \mathrm dx

    wobei θ\theta die Heaviside-Funktion ist und cnc_n Konstanten (aus R+\mathbb R^+) sind, es gilt b>ab>a sowie a,bRa, b \in \mathbb R, also keine Überraschungen mit den Wertebereichen und nix aus C\mathbb C.

    Wie macht ich das am geschicktesten?

    Ohne das Heaviside ists kein Problem. Ich möchte aber nur die negativen Flächen zählen. Meine jetzige Idee ist, zuerst zu ermitteln, wie viele "vollständige" Zyklen ich habe und bb dementsprechend verringere und dann den Rest per Fallunterscheidung löse (also z.B. liegt aa vor dem 0-Bereich? Dann von aa bis zum Anfang des folgenden 0-Bereichs Integrieren. Und dann bei bb ebenfalls schauen, wohin ich die Grenzen legen muss.

    (Das ganze will ich mit numpy durchführen und für ca. 1 Mio a/b-Paare ausrechnen - aber eigentlich hatte ich mir irgendwie einen klugen Weg erhofft, das Integral "einfach" auszurechnen)



  • Die Heaviside-Funktion ist nur für Argumente größer Null als eins definiert sonst als null. D.h. man kann das Integral abschnittsweise als

    l1l21dx=xl1l2=(l2l1)-\int_{l_1}^{l_2}1\;\mathrm{d}x = -x\biggr|_{l_1}^{l_2} = -(l_2-l_1)

    berechnen. Das einzige was man nun beachten muss, sind die Integralgrenzen, d.h. für welche Werte aus dem Intervall [a,b][a,b] ist das Integral 0 und wann nicht. Die sin\sin-Funktion ist im Intervall [0,π][0,\pi] größer 0 und für ]π,2π[]\pi,2\pi[ kleiner Null. Durch das Minuszeichen in der Heaviside-Funktion vertauschen diese Wertebereiche gerade, d.h. die Heaviside-Funktion ist eins, wenn π<c1(xc2)<2π\pi < c_1(x-c_2) < 2\pi. Da c1>0c_1 > 0

    π/c1<xc2<2π/c1\pi/c_1 < x-c_2 < 2\pi/c_1

    und

    (π/c1)+c2<x<(2π/c1)+c2(\pi/c_1) + c_2 < x < (2\pi/c_1) + c_2

    Das sind nun die Grenzen in denen das obige Integral definiert ist, sonst ist es Null. Du musst nun schauen, wie aa und bb sich dazu verhalten.


Log in to reply