Lösen quadratischer Gleichung mit PQ-Formel [Gelöst]



  • Guten Tag liebe Community,

    beim Auffrischen meiner Mathekenntnisse stoße ich beim Lösen der folgenden quadratischen Gleichung auf ein Problem.

    x² + (3- √3)x - √27 = 0

    Mithilfe der PQ-Formel:

    • x1,2=p2±(p2)2qx_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}

    Habe ich bei:

    • P2>(33)2-\frac{P}{2} -> -\frac{(3-\sqrt{3})}{2} eingesetzt

    • (p2)2>((332)2-\left(\frac{p}{2}\right)^{2} -> -\left(\frac{(3-\sqrt{3}}{2}\right)^{2} eingesetzt

    • q = 27\sqrt{27} eingesetzt

    wodurch ich auf folgende Formel komme:

    • x1,2=(33)2±((33)2)227x_{1,2} = -\frac{(3-\sqrt{3})}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{(3-\sqrt{3})}{2}\right)^{2}-\sqrt{27}}

    Bei ((33)2)2\left(\frac{(3-\sqrt{3})}{2}\right)^{2} habe ich (3-√3)² folgendermaßen mit der 2. binomischen Formel Ausmultipliziert:

    • (3-√3)² = (3-√3)(3-√3) = 9 - 3√3 - 3√3 - (√3)² = 9 - 6√3 + 3 = 12 - 6√3

    Bei 27\sqrt{27} komme ich mit Ausfaktorieren auf das Folgende:

    • √27 = √3³ = √(3²*3) = √3² * √3 = 3√3

    Wodurch sich jetzt folgende Formel ergibt:

    • x1,2=(33)2±1263433x_{1,2} = -\frac{(3-\sqrt{3})}{2} \pm \sqrt{ \frac{12-6\sqrt{3}}{4}-3\sqrt{3}}

    Ab hier entschließt sich mir das weitere Vorgehen und ich hoffe dass jemand mir weiterhelfen kann 🙂

    Falls ich hier etwas falsch geschrieben habe tut es mir leid, ist das erste mal dass ich mit den Latex Tags etwas geschrieben habe.

    Ich bedanke mich schon einmal für die Hilfe und Wünsche euch weiterhin einen schönen Tag und bleibt Gesund 🙂



  • Du brauchst doch jetzt nur noch die einzelnen Zahlenwerte (mit einem Taschenrechner) ausrechnen (auch wenn ziemlich
    krumme Werte rauskommen).

    PS: Du hast einen Fehler beim Einsetzen von q gemacht (beachte das Vorzeichen...).



  • @Th69 sagte in Lösen quadratischer Gleichung mit PQ-Formel:

    Du brauchst doch jetzt nur noch die einzelnen Zahlenwerte (mit einem Taschenrechner) ausrechnen

    Tipp: man braucht keinen TR für die Lösungen (3-3 und 3\sqrt{3}).

    Tipp2: man muss auch nicht immer die pq-Formel nutzen, nur weil es diese gibt. Du hast ja schon gesehen, dass 27=33\sqrt{27} = 3\sqrt{3} ist.

    Also: x2+(33)x33=x2+3x3x33=0x^2 + (3 - \sqrt{3})x - 3\sqrt{3} = x^2 + 3x - \sqrt{3}\,x - 3\sqrt{3} = 0
    Ganz schön viele dreien? Man könnte ja mal ein bisschen draufschauen, dann sieht man leicht, dass man das umformulieren kann zu:
    x2+3x3x33=(x+3)(x3)=0x^2 + 3x - \sqrt{3}\,x - 3\sqrt{3} = (x + 3) (x -\sqrt{3}) = 0
    x=3x=3\Rightarrow x=-3 \lor x=\sqrt{3}


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