Mathe: Kleine Frage zu Mengen

Walli

Wie beweise ich folgendes? Habe mir überlegt, dass es stimmen müsste, komme aber nicht auf den Beweis. Sitze vielleicht schon zu lange vor Mathe heute...

A u B = (A \ (A n B)) u B

u steht für Vereinigung und n für Durchschnitt.

Danke für eure Hilfe ,

Mastah

e heißt "element von"
-e heißt "nicht element von"

x e (A \ (A n B)) u B
<=> x e (A \ (A n B)) OR x e B
<=> x e A AND x -e (A n OR x e B
<=> x e A AND (x -e A OR x -e OR x e B
<=> x e A AND x -e A OR x e A AND x -e B OR x e B
<=> x e A AND x -e B OR x e B
<=> (x e A OR x e AND (x -e B OR x e
<=> (x e A OR x e
<=> x e (A u

Solche Beweise funktionieren immer ganz einfach, indem man stur die Definition anwendet und die Sache auf Aussagenlogische (AL) Formeln zurückführt.
Die AL Umformungen müssen aber auch noch bewiesen werden !
Das geht ganz simpel per Wertetabelle.
Kannst du aber selbst machen

fubar

x e (A \ (A n B)) u B 
<=> x e (A\A u A\B) u B
<=> x e ( 0  u A\B) u B
<=> x e A u B

Hoffe das stimmt so!

Walli

Danke ! Zwei Fragen habe ich noch:

x -e (A n <==> (x -e A OR x -e

Kann ich so immer umformen?

<=> x e A AND x -e A OR x e A AND x -e B OR x e B
<=> x e A AND x -e B OR x e B

Wenn sich irgendwo rausstellt (x e B OR x -e dann ist das ja immer wahr. Kann ich das dann immer weglassen?

Bashar

MaSTaH schrieb:

x -e (A n <==> (x -e A OR x -e
Kann ich so immer umformen?

Mal mit Zwischenschritten:
x -e (A n <==> NOT (x e (A n B)) <==> NOT (x e A AND x e <==> (x -e A OR x -e
Die erste Äquivalenz folgt aus der Definition von -e, die zweite aus der Definition des n-Operators, die dritte aus einem der DeMorganschen Gesetze.

Wenn sich irgendwo rausstellt (x e B OR x -e dann ist das ja immer wahr. Kann ich das dann immer weglassen?

Nicht weglassen. Sondern durch T ersetzen, oder welches Symbol auch immer du für "Wahr" verwendest. Und dann ggf. weglassen, falls es mit einem anderen Ausdruck über AND verknüpft ist.

Walli

Thx Bashar . Hatte gestern abend echt ne Denkblockade.