4. LAPLACEscher Entwicklungssatz

LAPLACEscher Entwicklungssatz

  • ?

    Servus!
    kann mir jemand bitte den LAPLACEscher Entwicklungssatz anhand dieses Beispiels erklären?

    \left( \begin{array}{*{4}{c}} -5 & -32 & 1 \\ 1 & 9 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)

    danke!
    Grüße Jürgen

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  • W

    JürgenS. schrieb:

    LAPLACEscher Entwicklungssatz

    Was ist das? Meinst du den für Determinanten? Dann lass das mal schön sein mit der Matrix da oben!

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  • ?

    ja, das ist er, ich habe nur für die determinante die geraden klammmern nicht gefunden.

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  • C

    http://www.mathematik.uni-leipzig.de/MI/riedel/mathgeol/geosk/node14.html

    schau mal nach Satz 3.2.8 und Beispiel 3.2.9 ...

    ups .. hatte gar nicht gelesen, daß das an dem Beispiel sein soll ... sorry 🙄

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  • W

    JürgenS. schrieb:

    ja, das ist er, ich habe nur für die determinante die geraden klammmern nicht gefunden.

    Ich meinte nicht die Klammern - ich meinte die gesamte Matrix. Schau mal genau auf Spalten- und Zeilenanzahl. Wenn du mir eine ordentliche Matrix gibst, berechne ich dir gerne die Determinante mit dem Satz. Aber zuerst bist du dran...

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  • J

    Soll heißen: Determinante gibt's nur für quadratische Matrizen.

    MfG Jester

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  • ?

    ok, dann eben so:

    \left( \begin{array}{*{4}{c}} -5 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{*{4}{c}} -32 \\ 9 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{*{4}{c}} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)
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  • W

    Willst du uns verarschen?

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  • ?

    was ist den nun schonweider falsch??
    das soll kein innenprodukt darstellen, ich habe nur die kommas vergessen

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  • W

    Du sollst uns eine quadratische Matrix geben, man!

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  • ?

    achso, dann muss ich aber ein anders beispiel nehmen.

    \left( \begin{array}{*{4}{c}} 4 & 1 & 4 & 2 \\ 3 & 7 & 8 & 1 \\ 5 & 0 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ \end{array} \right)
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  • A

    Ist das der Laplacsche Entwicklungssatz?
    ∣A∣=∑j=1naij(−1)i+j∣Aij∣\left| A \right|= \sum_{j=1}^{n}{a_{ij}(-1)^{i+j}\left| A_{ij} \right|}

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  • W

    Ich zeige dir das anhand einer 3x3-Matrix. Wir entwickeln nach der ersten Zeile.

    \left| \begin{array}{*{3}{c}} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{array} \right| = 1\cdot\left| \begin{array}{*{2}{c}} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\ \end{array} \right| - 2\cdot\left| \begin{array}{*{2}{c}} 4 & 6 \\ 7 & 9 \\ \end{array} \right| + 3\cdot\left| \begin{array}{*{2}{c}} 4 & 5 \\ 7 & 8 \\ \end{array} \right|

    Du nimmst dir also zuerst die 1 und streichst in Gedanken die erste Zeile und die erste Spalte. So entsteht eine 2x2-Matrix. Diese nimmst du mal eins und machst weiter. Dann kommt nämlich die 2. Der Entwicklungssatz baut sozusagen ein Schachbrettmuster auf die Matrix. Eben hast du noch mit +1 multipliziert, jetzt darfst du nicht mit 2, sondern mit -2 multiplizieren. Als nächstes kommt dann wieder +, also +3. Wir sind aber noch beim zweiten Schritt. Du streichst nun wieder die Zeile und die Spalte der Matrix in Gedanken, die sich in der 2 schneiden. Das ist die erste Zeile und die zweite Spalte. Die entstehende Matrix multiplizierst du dann mit der schon erwähnten -2. Im dritten und letzten Schritt streichen wir dann die erste Zeile und die dritte Spalte (die sich in der 3 schneiden) und multiplizieren die entstehende 2x2-Matrix mit 3. Fertig. Die Determinanten der 2x2-Matrizen kann man jetzt leicht ausrechnen.

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  • A

    asmodis schrieb:

    Ist das der Laplacsche Entwicklungssatz?
    ∣A∣=∑j=1naij(−1)i+j∣Aij∣\left| A \right|= \sum_{j=1}^{n}{a_{ij}(-1)^{i+j}\left| A_{ij} \right|}

    Angenommen das ist der Laplac'sche Entwicklungssatz:

    Es ist sinnvoll, erst durch Spaltenumformungen möglichst viele Nullen in eine Zeile zu bringen (je weniger Einträge einer Zeile \not=0 sind, desto weniger Determinanten muss man berechnen.)

    \left| \begin{array}{*{4}{c}} 4 & 1 & 4 & 2 \\ 3 & 7 & 8 & 1 \\ 5 & 0 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{*{4}{c}} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -25 & 7 & -20 & -13 \\ 5 & 0 & 2 & 3 \\ -8 & 3 & -10 & -5 \\ \end{array} \right|

    Entwicklung nach der ersten Zeile:

    \left| \begin{array}{*{4}{c}} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -25 & 7 & -20 & -13 \\ 5 & 0 & 2 & 3 \\ -8 & 3 & -10 & -5 \\ \end{array} \right| =(-1) \left| \begin{array}{*{4}{c}} -25 & -20 & -13 \\ 5 & 2 & 3 \\ -8 & -10 & -5 \\ \end{array} \right| =(-1) \left| \begin{array}{*{4}{c}} 25 & 0 & 17 \\ 5 & 2 & 3 \\ 17 & 0 & 10 \\ \end{array} \right| =(-1)(2) \left| \begin{array}{*{4}{c}} 25 & 17 \\ 17 & 10 \\ \end{array} \right| =(-1)(2)(250-289)=78

    Beim zweiten Schritt hab ich nach einer Spalte entwickelt, weil es einfacher war dort Nullen hinzubekommen.
    Diese Entwicklungen macht man in der Regel solange, bis man eine 2x2 Matrix hat, von der man die Determinante leicht über a11a22−a12a21a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} erhält.
    Anmerkung: es ist nicht zwingend nötig, die Matrix so umzuformen, dass man nur ein Element in einer Zeile/Spalte stehen hat, es vermeidet nur, dass man viele Determinanten berechnen muss.

    Anmerkung2: Die kleineren Determinanten erhält man durch Streichen der Zeile und Spalte in der das aktuelle Element (bei mir immer nur eins) steht.

    Anmerkung3: Das aktuelle Element wir als Faktor vor die Determinante geschrieben, das Vorzeichen ergibt sich aus der Position des Elements.
    Das Element aija_{ij} hat das Vorzeichen (−1)i+j(-1)^{i+j}

    Mit Spaltenumformungen meine ich übrigens das addieren des Vielfachen einer Spalte zu einer anderen Spalte. Bei dieser Umformung Ändert sich die Determinante nicht.

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