Knifflige Grenzwertaufgabe

Tach Leutz,
ich häng grad an ner kniffligen Grenzwertaufgabe. Sie lautet:

Für welche q ELEMENT R konvergieren die nachstehenden Folgen gegen 0?
(i) an = q^n * n^k
(ii) bn = q^n / n!

Zu (i) fällt mir ausser q = 0 keine vernünftige Lösung ein. Bei (ii) habe ich mir überlegt, dass ich rausfinden müsste was schneller wächst. Aber es gibt ja kein q das in Frage kommen würde bei n->unendlich. Mir fällt da nur q = unendlich ein. Aber das ist ja keine Lösung. L#Hospital etc. dürfen wir nicht verwenden.

Vielen Lieben dank für Tips

Tobias

Christoph

maple sagt zu (ii), das q völlig egal ist. n! wächst schneller als jede Exponentialfunktion.
Na gut, das ist kein Beweis...

WebFritzi

Zu (i): Was ist k?
Zu (ii): Es gilt $b\_n = \frac{q\cdot q^{n-1}}{n\cdot(n-1)!} = \frac{q}{n}\cdot b\_{n-1}$ . Ab n≥q ist (b_n) monoton fallend, da $b\_n = \frac{q}{n}\cdot b\_{n-1} \le b_{n-1}$ . Da (b_n) weiterhin nach unten durch Null beschränkt ist, ist (b_n) konvergent. Der Grenzwert sei b. Dann folgt $b = \lim_{n\to\infty}\frac{q}{n} \cdot b = 0$ .

asmodis

zu (i): q^n konvergiert für |q| < 1 gegen 0, und für |q| < 1 gilt, dass q^n schneller fällt, als n^k wächst ==> für |q|<1 konvergiert a_n, für |q|>=1 divergiert a_n