Rekursive Folge



  • Hallo zusammen,

    es ist wieder Sonntagabend und mein Matheblatt ist fast fertig. Wenn da nicht diese blöde rekursive Folge wäre die mir den letzten Nerv raubt.

    Es sei x0 := 2 und
    xn := 1/2 * (xn-1 + 2/xn-1) = xn-1 - (xn-1² - 2) / (2xn-1) , n \in |N

    a) Zeigen sie, dass die Folge (xn) n \in |N0 konvergiert, und geben sie ihren Grenzwert an.

    Hinweis: Zeigen sie, dass √2 ≤ xn ≤ √2 + x1/2n-1

    b) Beweisen sie die Einschließung
    0 ≤ xn - √2 ≤ xn - 2/xn

    Also bei a) komm ich bei den Umformungen immer auf Blödsinn und bei der b) fehlt mir der Ansatz zum Beweis des rechten Teils.

    Naja, vielleicht hat ja jemand einen Tipp für mich. Würde mich jedenfalls sehr freuen über kleine Ratschläge.

    Gruß,

    Mastah



  • versuchs mal mit den Quotientenkriterium



  • Also bei a) tappe ich noch im dunkeln, aber bei b) fehlt mir nur noch der Beweis für

    xn - √2 ≤ 3/2n



  • zu a)
    Versuch:
    lim(n->oo)x_n=lim(n->oo)(x_n-1)=:x

    => x=1/2*(x+2/x) => x^2=2 => x=+-sqrt(2)

    Jetzt kann man zeigen, daß die Folge monoton und konv. ist und hat so den Grenzwert...

    Hoffe das stimmt so ungefähr und sorry für die schlechte Formatierung, habe keine Zeit das in LaTeX umzusetzen (es reicht ja anscheinend nicht mal für eine ordentliche Kommasetzung) 😃



  • Tipper schrieb:

    versuchs mal mit den Quotientenkriterium

    Wir hatten bislang aber nur das Cauchy-, Monotonie, und Majorantenkriterium. Damit komme ich aber irgendwie nicht wirklich weiter.

    EDIT: Ich versuche es mal mit dem Einschließungskriterium.



  • fubar schrieb:

    Jetzt kann man zeigen, daß die Folge monoton und konv. ist und hat so den Grenzwert...

    Müsste es nicht heißen: ...dass die Folge monoton und beschränkt ist,
    also konvergent ist und deswegen einen Grenzwert hat?



  • Taurin schrieb:

    Müsste es nicht heißen: ...dass die Folge monoton und beschränkt ist,
    also konvergent ist und deswegen einen Grenzwert hat?

    Ups, ja genau... Man will ja gerade die Konvergenz zeigen 🙄



  • Danke euch. Aber wie kann ich zeigen, dass folgendes gilt?
    √2 ≤ xn ≤ √2 + x1/2n-1

    An den Grenzwert komme ich nachdem ich dies gezeigt habe ziemlich einfach durch das Einschließungskriterium...



  • Danke euch, ich habe es mit Hilfe von fubars Tip geschafft 🙂 .


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