Grenzwert einer Reihe?

Guten Abend,
ich verstehe nicht wie ich den Grenzwert einer Reihe berechnen soll. Maple sagt mit den richtigen Grenzwert, aber ich verstehe nicht wie man darauf kommt...

- Wie berechnet man den Grenzwert?
- Ist es hinreichend, wenn man zeigt, dass die Folge in der Summe eine Nullfolge ist um zu wissen, dass sie einen Grenzwert hat?

Die Reihe (in Maple-Notation, kann leider kein Latex):
sum('(-1)^k/2k', k=0..infinity);

Wäre voll nett wenn mir jemand helfen könnte.

mfg,

Smochie

Mis2com

$\sum_{k=0}^{\infty}{ (-1)^k/2^k}$

Beim problem selber kann ich aber nicht helfen.

nimm doch das Quotientenkriterium.

schwarzundhinterwäldler schrieb:

nimm doch das Quotientenkriterium.

Ich will nicht beweisen, dass ein Grenzwert existiert. Dies ist gegeben. Ich muss nur ermitteln wie er lautet. Und ich kann mir nicht vorstellen wie ich eine Regelmäßigkeit in dieser Reihe finden soll die mir den Grenzwert liefert...

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 - 1/32... konvergiert gegen 2/3 (laut Maple), aber warum? Mir fehlt der entscheidende Kniff.

Ich habe rausgefunden, dass sich die Reihe vereinfachen lässt:

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 - 1/32 + ... = 1/2 + 1/8 + 1/32 + 1/64 + ...

Bringt mir das irgendetwas? :xmas1:

OK, ich muss nun nur noch den Grenzwert von:

sum(1/2^(2*k+1), k=0..infinity);

berechnen können. Dann bin ich fertig. Das ist aber mein größtes Problem. Ich kann jetzt doch nicht einfach den Wert 2/3 ohne Begründung hinschreiben.

Ich habe nun herausgefunden, dass:
sum(1/2^(2k+1), k=0..infinity)
= sum(1/2^k, k=0..infinity) - sum(1/2^(2k), k=0..infinity);
= 2 - sum(1/2^(2*k), k=0..infinity);
= 2 - sum(1/(2^k)2, k=0..infinity);

Nun muss ich nur noch den Grenzwert vom zweiten Teil bestimmen. Hat da jemand einen heißen Tip für mich? Nun komme ich wirklich nicht weiter .

mfg,

Smochie

2 - sum(1/(2^k)2, k=0..infinity);
= 2 - sum(1/(2²⁾k, k=0..infinity);
= 2 - sum((1/4)^k, k=0..infinity); //Geometrische Reihe !
= 2 - 1/(1-1/4)
= 2 - 1/(3/4)
= 2 - 4/3
= 2/3

tobidope

$ \[ \begin{array}{lcl} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2^k} & = & \sum_{k=0}^{\infty}(-\frac{1}{2})^k\\ \mbox{geometrische Reihe} & = & \frac{1}{1+\frac{1}{2}}\\ & = & \frac{2}{3}\\ \end{array} \]

Die Herleitung zur geometrischen Reihe habe ich jetzt nicht im Kopf, müßte ich nachschlagen, aber prinzipiell gilt:
$\sum_{n=0}^{\infty}q^n = \frac{1}{1-q}$

für alle |q| < 1.

Mann bin ich blöd, dass ich nicht selber auf die geometrische Reihe gekommen bin. Dabei bläuen sie uns die immer ein. Danke Leute .

mfg,

Smochie

WebFritzi

tobidope schrieb:

Die Herleitung zur geometrischen Reihe habe ich jetzt nicht im Kopf...

Eine der einfachsten Übungen für einen Mathematiker wie mich:
$s\_n := \sum\_{k=0}^n q^k$
s_n = q^0 + q^1 + q^2 + \dots + q^n
q\cdot s_n = q^1 + q^2 + \dots + q^n + q^{n+1}
Subtrahieren:
$(1-q)\cdot s_n = q^0 - q^{n+1} = 1 - q^{n+1}$
Und es folgt:
$s_n = \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}$
Für die geometrische Reihe ergibt sich (|q| < 1):
$\sum_{k=0}^\infty q^k = \lim_{n\to\infty} s\_n = \lim\_{n\to\infty}\frac{1 - q^{n+1}}{1-q} = \frac{1}{1-q}$

WebFritzi is'n möchtegern-Mathematiker, der nur die einfachen Sachen kann, es gibt
nur ganz wenige brilliante Mathematiker auf der Welt, die anderen alle sind durchschnittlich!!

Jover

Ouu. Da wird bald Rauch aufsteigen

WebFritzi

Jover schrieb:

Ouu. Da wird bald Rauch aufsteigen

Nein. Achgott... ich weiß eh, dass all die Leute, die mich einfach so angreifen, dumm sind und gerne so schlau wären wie ich. Es reicht, wenn der Rauch bei diesen Leuten im Hirn stehen bleibt und sie noch mehr vernebelt.