Homomorphe Bilder der S3



  • Folgende Aufgabe hab ich zu lösen:
    Man bestimme alle homomorphen Bilder der symmetrischen Gruppe S3 bis auf Isomorphie.

    Also ich nehm die Menge aller 3-elementigen Permutationen her und sage die S3 = {€, (23), (12), (123), (132), (13)}, wobei €=epsilon = identische Abbildung.

    Dann hab ich mir alle Untergruppen bestimmt (weil ich glaub, dass ich die noch brauche), und zwar:
    U1 = <S3, °>
    U2 = <€, °>
    U3 = <{€, (23)}, °>
    U4 = <{€, (12)}, °>
    U5 = <{€, (13)}, °>
    U6 = <{€, (123), (132)}, °>

    hm, jetzt hab ich hier den Homomorphiesatz für Gruppen vor mir liegen, aber ich check einfach nicht, was ich hier jetzt machen soll... 😕
    bitte um hilfe!



  • Der Homomorphiesatz sagt ja folgendes:

    Ist Φ:G-->H ein Homomorphismus (G, H Gruppen), dann ist

    N := KernΦ ein Normalteiler von G und Φ(G) isomorph G/N
    Du sollst ja jetzt alle Bilder Phi(G) bestimmen die möglich sind. Du weißt die sind immer isomorph zu G/N mit N Normalteier in G bei Dir also in S3. Es genügt also alle Normalteiler von S3 zu bestimmen und die Quotiontengruppen zu bestimmen. Da die Bestimmung nur bis auf Isomorphie ist wird es etwas einfacher, erstmal Gruppenordnung der Bilder bestimmen... und denk dran: Gruppen mit Primzahlordnung sind Zyklisch.

    MfG Jester



  • also, ich hab mir mal eine Operationstafel gemacht, die sieht so aus:

    °  | f0 | f1 | f2 | f3 | f4 | f5 |
    ----------------------------------
    f0 | f0   f1   f2   f3   f4   f5
    f1 | f1   f2   f0   f4   f5   f3
    f2 | f2   f0   f1   f5   f3   f4
    f3 | f3   f5   f4   f0   f2   f1
    f4 | f4   f3   f5   f1   f0   f2
    f5 | f5   f4   f3   f2   f1   f0
    

    mit f0 = epsilon f1 = (123) f2 = (132)
    f3 = (23) f4 = (13) f5 = (12)

    btw, die Tafel stimmt, hab ich mit der aus einem schlauen Buch verglichen 😉

    Weiters heißt es:
    Habe ich eine Gruppe G=<M,°>.
    Ist H=<N,°> ein Normalteiler von G, so muss gelten für alle x aus M: x°N = N°x
    Soweit ich das verstanden habe, ist also jede Untergruppe ein Normalteiler, sofern G kommutativ ist. Da das hier nicht der Fall ist, muss man suchen. Aus der Operationstafel sehe ich, dass das für N={f0, f1, f2} gilt.
    Diese Teilmenge bildet ausserdem eine Untergruppe der S3 (im vorigen post als U6 bezeichnet).
    Dass f3, f4 oder f5 keine Normalteiler sind, erkenne ich aus der Operationstafel, weil obige Bedingung (also quasi Kommutativität) nicht zutrifft.

    Wie erkenne ich ob es noch andere Normalteiler gibt? bzw. ist nicht H=<{f0}, °> (also nur die identsche Abbildung mit einer binären Operation) für sich auch ein Normalteiler? (bildet ja auch eine Untergruppe).
    Wie bestimme ich die Quotientengruppe?
    Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg?



  • Jo, der Weg ist richtig.
    Jetzt mal ganz langsam, wir suchen Normalteiler und jeder Normalteiler ist Untergruppe. Also kommen als Kandidaten mal nur die Untergruppen in Frage. Tja, welche Untergruppen gibt es überhaupt? Nunja, die Ordnung einer Untergruppe teilt die Ordnung der Gruppe, also gibt es nur Untergruppen mit Gruppenordnungen die 6 teilen. Das sind 1,2,3,6.

    die mit 1 und 6 sind {e} bzw. S3. Die sind sicher auch Normalteiler, die entsprechenden Quotientengruppen sind dann S3 bzw. {e}.

    Dann schauen wir uns mal die anderen Untergruppen an:
    Da waren einmal die mit 3 Elementen und die mit 2 Elementen.
    Die mit 3 Elementen hat Index 2 (|S3|/3 = 2), damit ist sie automatisch Normalteiler (Beweis leicht, kann ich nachliefern).

    Die von Index 3 sind keine Normalteiler.

    Damit haben wir nur noch den einen Normalteiler mit 3 Elementen, das ist die Gruppe der geraden Permutationen von 3 Elementen, kurz: A3.

    S3/A3 hat 2 Elemente, 2 ist prim, also isomorph zu Z/2Z.
    Dat war's.

    MfG Jester



  • ok, soweit im großen und ganzen klar...muss ich erst verdauen 😋
    danke!



  • Hi,
    ich habe mal versucht den Beweis anzufertigen, warum jede Untergruppe vom Index 2 Normalteiler ist. Allerdings habe ich es nicht hinbekommen 😞
    Könnte ihn jemand posten? Wäre sehr lieb 🙄

    Gruß
    Katharina



  • G = H disj.Ver. aH = H disj.Ver Ha => aH = Ha => H Normalteiler



  • mmh, danke für die schnelle anwtort, aber ich habe noch ein paar fragen dazu.
    G=H soll eine disjunkte Vereinigung sein? wie soll denn dann H eine Untergruppe von G sein? a ist das neutrale Element?...ich versteh es nicht 😞 😕


  • Mod

    Kawi schrieb:

    mmh, danke für die schnelle anwtort, aber ich habe noch ein paar fragen dazu.
    G=H soll eine disjunkte Vereinigung sein? wie soll denn dann H eine Untergruppe von G sein? a ist das neutrale Element?...ich versteh es nicht 😞 😕

    H ist deine Untergruppe mit dem Index 2 und du willst zeigen, dass H ein Normalteiler von G ist.
    Dazu nimmst du ein beliebiges Element a aus G \ H. Dann braucht man nur noch, dass aH = Ha ist.

    Dazu stellt man erstmal fest, dass aH und H disjunkt sind. Denn hätten aH und H ein gemeinsames Element ah, dann könntest du das von rechts mit h^(-1) multiplizieren. Dann hättest du aber a \in H, was deiner Voraussetzung widerspricht.
    Mit demselben Argument haben Ha und H kein gemeinsames Element.

    aH und Ha sind beide genauso groß wie H, und H hat gerade halb so viele Elemente wie G. Also gibt H vereinigt mit aH ganz G, genauso wie H vereinigt mit Ha. Daraus folgt, dass aH = Ha.



  • Christoph schrieb:

    aH und Ha sind beide genauso groß wie H, und H hat gerade halb so viele Elemente wie G. Also gibt H vereinigt mit aH ganz G, genauso wie H vereinigt mit Ha. Daraus folgt, dass aH = Ha.

    Es gilt auch für G unendlich, denn "H vereinigt mit aH ganz G" folgt daraus, dass die Links/Rechtsnebenklassen eine Partition von G bilden



  • Ach ja: Gruppentafeln sind ok für Computer, aber für Mathematiker bähbäh



  • Hi,
    ich versteh nicht ganz, was : Denn hätten aH und H ein gemeinsames Element ah, dann könntest du das von rechts mit h^(-1) multiplizieren. Dann hättest du aber a \in H, was deiner Voraussetzung widerspricht.
    bedeutet. vor allem das a / in H.
    Meinst du ah=H und dann von rechts "kringeln" ?
    Ansonsten ist das logisch.
    Danke!
    ist es denn dann nichta uch möglich...mmh...eine "allgemeine Formel" oder sowas für eine Gruppe und eine Untergruppe anzugeben für die jede zahl n>2, die die Bedingunge erfüllt, dass (G:H)=n und H kein Normalteiler in g ist erfüllt?
    oder wei könnte man sowas geschickt angeben?

    Gruß
    Katharina


  • Mod

    Kawi schrieb:

    ich versteh nicht ganz, was : Denn hätten aH und H ein gemeinsames Element ah, dann könntest du das von rechts mit h^(-1) multiplizieren. Dann hättest du aber a \in H, was deiner Voraussetzung widerspricht.
    bedeutet. vor allem das a / in H.
    Meinst du ah=H und dann von rechts "kringeln" ?
    Ansonsten ist das logisch.

    Du wählst a so, dass es in G, aber nicht in H liegt. Dann baust du damit aH. Jedes Element aus aH lässt sich schreiben als ah mit einem Element h aus H. Hätten jetzt aH und H ein gemeinsames Element, ließe sich das auch als ah schreiben, mit irgendeinem h. Weil aber H bzgl. Multiplikation abgeschlossen ist, darfst du von rechts h^(-1) an ah multiplizieren, und du bleibst in H. Dann steht da aber ahh^(-1) = a \in H, obwohl du a gerade so gewählt hast, dass es nicht in H liegt.



  • Hi,
    danke, denke, dass ich es jetzt verstanden habe.
    zu meiner zweiten frage: da hab ich einen tipp bekommen: bahnengleichung...allerdings kann ichd amit nichts odnerlich viel anfangen...kann mir jemadn helfen?
    dank im vorraus.

    gruß katharina



  • Formulier die 2. Frage nochmal klar. Soll G fixiert sein?


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