Lineare Algebra: Orthogonalraum
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Wenn V Unterraum von |R^4 und dim(V) = 3, kann dann der Orthogonalraum von V
die Dimension 1 haben?Ich rechne gerade an an einer Aufgabe, in der ich diesen Orthogonalraum
bestimmen soll: V = span{ (1,0,1,0)^T, (-1,0,1,0)^T, (0,1,0,1)^T }
und habe als Orthogonalraum berechnet span{ (1,0,-1,0)^T }, und irgendwoe
liegt mir das quer.
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Was ist dein Problem damit? Betrachte das mal anschauungshalber im R^3, wenn das hilft.
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Um einen Orthogonalraum zu definieren, brauchst du überhaupt erstmal ein Skalarprodukt. Welches hast du? Wenn es das Standard-Skalarprodukt ist, dann ist (0, 1, 0, -1) z.B. ein Basisvektor des Orthogonalraumes.
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Ich hatte mir die Bildung des Orthogonalraum falsch vorgestellt. Ist mir eben
aufgegegangen - ich dachte mehr an eine Drehung um 90°, aber das ist es ja nicht.
Hatte mich auch vertippt. Ich hatte auch WebFritzis Basis heraus.
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Taurin schrieb:
ich dachte mehr an eine Drehung um 90°, aber das ist es ja nicht.
[Lehrerfrage] Was denn dann? [/Lehrerfrage]
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Wenn es das wäre, könnten uns beim drehen keine Dimensionen abhanden kommen,
oder? Da war ja mein Problem.
Beispiel im |R^3: Wenn V eine Ebene ist,
dann enthällt der Orthogonalraum nur noch alle Vielfachen des Normalenvektors,
da ja *alle* Vektoren des Orthogonalraums auf *allen* des Ausgangsraum senkrecht
stehen sollen (Standard-Def. des Skalarproduktes angenommen).Könnte mich jemand aufklären, ob ich das richtig begriffen habe?
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Das hast du alles ganz richtig gesagt, nur hast du meine Lehrerfrage damit nicht beantwortet.
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WebFritzi schrieb:
Das hast du alles ganz richtig gesagt, nur hast du meine Lehrerfrage damit nicht beantwortet.
Steht doch oben eigentlich schon. Der Orthogonalraum enthält alle Vektoren,
die auf dem "Ausgangsraum" senkrecht stehen. Oder worauf willst du hinaus?
Sitz doch nicht so auf deinem Herrschaftswissen! :p
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Das ist eine umgangssprachliche Beschreibung. Ich hätte das gerne in mathematischer Sprache.
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Ich weiß zwar nicht, wie ich dazu komme, jemanden, den ich gar nicht kenne,
auf solche Pseudo-Lehrer-Fragen antworte, aber wenn du meinst....Sei V Euklidischer Vektorraum und W Unterraum von V. Dann ist
W_senkrecht := { x € V | <x,w> = 0 für alle w € W} Orthogonalraum von W.
Zufrieden, euer Hochwohlgebohrenheit?
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Jawohl, Taurin, mein Höfling. Sehr gut.