Stammfunktion zu f(x) = exp(x)*sin(x)



  • Hallo,

    ich habe ein Problem bei der Bestimmung der Stammfunktion zu:
    f(x) = exp(x)*sin(x).

    Ich weiß, es gibt einen ganz einfachen Trick, aber er ist mir entfallen.

    Mfg,
    jens



  • Was meinst Du mit exp(x) ?? e hoch x ??

    Wenn ja , so ist: ∫exp(ax)*sinbx dx =

    e^(ax)
    ------------(asin bx - b cos bx)
    (a2)+(b2)



  • jo, die produktregel
    wenn ich das noch kann, kommt also exp(x)*cos(x)+exp(x)*sin(x) raus.



  • Partielle Integration:

    $\begin{eqnarray*} \int e^x\sin x dx &=& e^x\sin x - \int e^x\cos x dx\\ &=& e^x\sin x - \Biggl( e^x\cos x - \biggl( -\int e^x\sin x dx\biggr) \Biggr)\\ &=& e^x (\sin x - \cos x) - \int e^x\sin x dx \end{eqnarray*}

    Daraus folgt dann

    exsinxdx=12ex(sinxcosx)\int e^x\sin x dx = \frac{1}{2}e^x (\sin x - \cos x).



  • @volkard: Du solltest nicht differenzieren sondern integrieren. 😉



  • WebFritzi schrieb:

    @volkard: Du solltest nicht differenzieren sondern integrieren. 😉

    ups. da hab ich mir es aber leicht gemacht. 😃



  • WebFritzi schrieb:

    Partielle Integration:

    $\begin{eqnarray*} \int e^x\sin x dx &=& e^x\sin x - \int e^x\cos x dx\\ &=& e^x\sinx - \Biggl( e^x\cos x - \biggl( -\int e^x\sin x dx\biggr) \Biggr)\\ &=& e^x (\sin x - \cos x) - \int e^x\sin x dx \end{eqnarray*}

    Daraus folgt dann

    exsinxdx=12ex(sinxcosx)\int e^x\sin x dx = \frac{1}{2}e^x (\sin x - \cos x).

    Ich kann dir irgendwie nicht folgen. Mein Problem bei der part. Integration war, dass ich nie zum Ende gekommen bin, weil immer e^x und sin oder cos in dem integral standen. die schritte 2 und 3 sowie die folgerung kapiere ich so ohne weiteres nicht... 😞



  • jensi schrieb:

    Ich kann dir irgendwie nicht folgen. Mein Problem bei der part. Integration war, dass ich nie zum Ende gekommen bin, weil immer e^x und sin oder cos in dem integral standen.

    jo, es bleibt auch immer e^x und sin(x) oder cos(x) übrig.
    macht aber nix. man kriegt das integral weg, weil da dann steht:

    $\begin{eqnarray*} \int e^x\sin x dx &=& e^x (\sin x - \cos x) - \int e^x\sin x dx \end{eqnarray*}

    also sowas wie
    A = blabla - A
    man macht es ohne schwierige tricks zu
    A+A = blabla

    edit: und das klappt oft, wenn man sin(x) und noch so nen kram im integral hat und die partielle integration zweimal macht.



  • jensi schrieb:

    Ich kann dir irgendwie nicht folgen. Mein Problem bei der part. Integration war, dass ich nie zum Ende gekommen bin, weil immer e^x und sin oder cos in dem integral standen. die schritte 2 und 3 sowie die folgerung kapiere ich so ohne weiteres nicht... 😞

    Ich glaub ich weiß wieso du ein Problem hattest. WebFritzi hat nach Schritt 1 einmal ein Leerzeichen vergessen (\sinx anstatt \sin x). Der Latexparser hat das Ding dann verschluckt...

    So stimmts...

    WebFritzi schrieb:

    Partielle Integration:

    $\begin{eqnarray*} \int e^x\sin x dx &=& e^x\sin x - \int e^x\cos x dx\\ &=& e^x\sin x - \Biggl( e^x\cos x - \biggl( -\int e^x\sin x dx\biggr) \Biggr)\\ &=& e^x (\sin x - \cos x) - \int e^x\sin x dx \end{eqnarray*}

    Daraus folgt dann

    exsinxdx=12ex(sinxcosx)\int e^x\sin x dx = \frac{1}{2}e^x (\sin x - \cos x).



  • MaSTaH schrieb:

    Ich glaub ich weiß wieso du ein Problem hattest. WebFritzi hat nach Schritt 1 einmal ein Leerzeichen vergessen (\sinx anstatt \sin x). Der Latexparser hat das Ding dann verschluckt...

    Danke, hab's verbessert.


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