Matritzen-Gleichung: Lösung gesucht



  • Hi, ich stehe gerade ein wenig auf dem Schlauch, kann mir jemand mal beim rechnen helfen:

    Es ist y ein n-dimensionaler Vektor, b ebenso ein n-dimensionaler Vektor und M eine n*p Matrix. Die zu lösende Gleichung lautet

    0 = (y - X b)^transponiert * X

    Wie löst man diese Gleichung? Multiplikation mit X^(-1) funktioniert offensichtlich nicht ...

    Achso: das Ergebnis lautet

    b = (X^transponiert * X)^(-1) * X^transponiert * y

    was man mit Nachrechnen überprüfen kann ...

    Danke für Hilfe, bin verwirrt 😕



  • Das sieht nach einem Ausgleichsproblem aus.
    Dabei wäre aber X aus IRnxp, b aus IRp und y aus IRn. Dann passt das auch wieder mit den Dimensionen!

    Gegeben ist dann das LGS Xb+y=r. Die Unbekannten b_i sollen so bestimmt werden, daß die Summe der Quadrate der Residuen r_i minimal wird. Das kann man zurückführen auf Xt*X*b=Xt*y und somit b = (Xt*X)(-1)*X^t*y



  • @fubar: Und woher weiß man, dass XTXX^TX invertierbar ist.

    @LAOES: Was ist M??? Vielleicht solltest du das nächste mal die Aufgabe exakt abschreiben, damit hier keine Missverständnisse entstehen!



  • WebFritzi schrieb:

    @fubar: Und woher weiß man, dass XTXX^TX invertierbar ist.

    Man setzt voraus, daß die Matrix X Maximalrang hat => XTXX^TX ist symmetrisch, positiv definit.

    Die somit eindeutig bestimmte Lösung b kann dann z.B. durch die Methode von Cholesky berechnet werden...



  • Danke. Hab ich auch alles mal gemacht. Ist aber schon einige Zeit her. 😉


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