x^x ableiten



  • Moin,

    erstmal vorweg: Ich kann leider (noch) kein Latex.
    Tja, es geht um die Ableitung von x^x. So weit bin ich schon:

    y = x^x
    ln y = x*ln x

    jetzt irgendwie ableiten
    1/y = ln x + 1

    y' = y*(ln x + 1)

    so, was rechts gemacht wurde ist einfach die produktregel anzuwenden, aber links ist das ja noch nicht mathematisch korrekt. Die Ableitung ist zwar richtig, aber wie krieg ich das hin, dass da rechts auch hinterher wirklich y' bzw. dy/dx steht?

    Naja, vielen Dank schon mal im voraus.



  • ddxxx=ddxexlnx=(lnx+1)exlnx=(lnx+1)xx\frac{d}{dx}x^x=\frac{d}{dx}e^{x\cdot \ln x}=(\ln x + 1)\cdot e^{x\cdot \ln x} = (\ln x + 1)\cdot x^x

    EDIT: In Latex umgesetzt



  • Ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube, dass man x^x nicht durch e^x*lnx ausdrücken kann, weil x (die Basis) ja nicht konstant ist. Ist ja was anderes als zb 9^x.

    (ich glaub, heute Abend schieb ich mal eine Spontan-Session Latexlernen ein 🙂 )



  • Das Ergebnis stimmt jedenfalls.

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  • Die Logarithmengesetze gelten allgemein, nicht nur für Funktionen. Dh der Begriff "nicht konstante Basis" ist überhaupt nicht anwendbar. So lange du zwei Zahlen a und b hast gilt a^b = exp(b*ln(a))



  • Doktor Prokt schrieb:

    Ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube, dass man x^x nicht durch e^x*lnx ausdrücken kann, weil x (die Basis) ja nicht konstant ist.

    Natürlich geht das! Warum auch nicht. Es ist halt xx=exlnxx^x = e^{x\cdot \ln x} für alle x>0x > 0.



  • Hui, das ist ja ne einfache Herleitung. Vielen Dank.
    Auf jeden Fall kam vorhin noch was falsches dabei raus, als ich ein Zahlenbeispiel eingesetzt hab, aber jetzt ist es nachvollziehbar.



  • Deine Frage ist zwar schon beantwortet, aber um deinen Ansatz noch zu vervollständigen:

    y = x^x
    => ln y = x*ln x
    => **y'1/y = ln x + 1
    => y' = y
    (ln x + 1)
    => y' = x^x
    (ln x +1)

    Dein einzigster Fehler war bei der Ableitung von ln y. Hier muss die Kettenregel angewandt werden, weil ja nach x abgeleitet wird und y eine Funktion ist von x ist.


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