orthogonal zu allen polynomen <= 2



  • hallo
    ich hab volgende aufgabe von der ich null plan habe

    Berechne Sie die Koeffizeinten a0, a1, a2 des Polynoms Q3 der Form: x3 + a2x2 + a1x + a0, das bezüglich des inneren produkts <f, g> = ∫1-1f(x)g(x)dx, f,g element aus C[-1,1], orthogonal ist zu allen algebaischen polynomen vom grad <= 2

    also wenn irgendjemand eine idee hat wie man das löst, dann sagt es mir bitte.
    ich bitte nicht das ihr das für mich löst, sondern nur um einen lösungsvorschlag



  • Jedes algebaische Polynomen vom Grad <= 2 kannst du schreiben als b2x2 + b1x + b0
    Jetzt kannst du das Skalarprodukt allgemein ausrechnen. Müßte

    2/5b1+2/5b2a2+2/3b0a2+2/3b1a1+2/3b2a0+2b0a02/5\,b_{{1}}+2/5\,b_{{2}}a_{{2}}+2/3\,b_{{0}}a_{{2}}+2/3\,b_{{1}}a_{{1 }}+2/3\,b_{{2}}a_{{0}}+2\,b_{{0}}a_{{0}}

    rauskommen. Unter welchen Bedingungen ist das immer gleich Null (für bel. bi)?

    [Um deine Lösung überprüfen zu können: Ich habe als Lösung3/5x+x3-3/5\,x+{x}^{3} . Natürlich alles ohne Gewähr ...]

    Edit: Tippfehler ausgebessert.



  • tschuldigung dass ich frage,
    aber was sind f,g ? zwei polynome?
    ist mir net ganz klar was da berechnet wird 🙄



  • ich hab wenn ich ehrlich bin ka 😕
    es ist klar das jedes algebraisches polynom vom grad <= 2 diese form hat
    ich weis auch was ein skalarprodukt ist, aber eben nur bei vektoren...
    kann mir jemand bitte in worten sagen was da überhaupt gemeint ist ... ?



  • DEvent schrieb:

    ich weis auch was ein skalarprodukt ist, aber eben nur bei vektoren...

    Dann sollte es doch keine Probleme geben 😉
    Nur sind 'Vektorraum' und 'Skalarprodukt' halt sehr allgemeine Begriffe.
    L2 oder C2 sind halt Vektorräume und die Polynome sind
    deren 'Vektoren'.
    Warum das angegebene Skalarprodukt auch wirklich eins ist, kannst du
    ja mal nachrechnen, also die 4? Bedingungen verifizieren.

    Jockelx



  • Gehirnmann! schrieb:

    aber was sind f,g ? zwei polynome?

    Nein, f, g Element aus C[-1,1], d.h. aus dem Raum der auf dem abgeschlossenen Intervall [-1, 1] stetigen Funktionen, also z.B. auch exp, sin, cos oder aus denen zusammengesetzte Funktionen, aber z.B. nicht die Sprungfunktion oder andere wilde Dinge.



  • DEvent schrieb:

    es ist klar das jedes algebraisches polynom vom grad <= 2 diese form hat

    Gut, dann muß du nur noch p_1(x)=b_2x2+b_1x+b_0p\_1(x) = b\_2x^2 + b\_1x + b\_0 und p_2(x)=x3+a_2x2+a_1x+a_0p\_2(x) = x^3 + a\_2x^2 + a\_1x + a\_0 in die Definition einsetzen:
    <p_1,p_2>=11p_1(x)p_2(x)dx<p\_1, p\_2> = \int_{-1}^1 p\_1(x) p\_2(x) dx und so weiter rechnen wie oben schon beschrieben ...

    Edit: C&P-Fehler


Log in to reply