ist dieser lösungsweg für grenzwertbestimmung richtig??

wasiliy

hi,
ich habe eine folge von reellen zahlen von der ich den grenzwert bestimmen muss.

a_n$ $n\in\mathbb{N}

$a_n = \frac{\sqrt{4n^2+n}}{3n+1}$

und das ist mein lösungsweg:
ich quadriere zunächsteinmal die folge, um die wurzel wegzukriegen:

$\left(\frac{\sqrt{4n^2+n}}{3n+1}\right)^2$

also bekomme ich:

$\frac{4n^2+n}{9n^2+6n+1}$

hier multipliziere ich nun zähler und nennner jeweils mit dem kehrwert der höchsten potenz und bekomme:

$\frac{4n^2+n}{9n^2+6n+1} * \frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}} = \frac{4+\frac{1}{n}}{9+\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2}}$

nun sehe ich schon, dass die vorher quadrierte folge gegen $\frac{4}{9}$ konvergiert. wenn ich nun daraus die wurzel ziehe bekomme ich den grenzwert der ursprünglichen folge:

$\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

was ich nun wissen will ist, ob dieser weg mathematisch korrekt ist, oder ob das nur zufall ist, dass ich hier den richtigen grenzwert kriege. mein instinkt sagt mir, dass es natürlich logisch ist, aber hab immer noch zweifel, die ich ausgeräumt haben will.

Bashar

Du hättest auch schon am Anfang durch n kürzen können, und hättest dann gesehen, dass der Nenner gegen 3 geht und der Zähler gegen 2. Was hättest du gemacht, wenn die Folge gegen -2/3 konvergiert wär?

wasiliy

hmm ich bin nicht so fit mit wurzeln, deshalb war das quadrieren das einzige, was mir einfiel. kannst du das vielleicht noch erläutern, was du mit "durch n kürzen" meinst?
hmm wenn die folge gegen $-\frac{2}{3}$ konvergiert wär dann hätt ich einfach trotzdem die wurzel aus $\frac{4}{9}$ gezogen und das minus zum schluss hinzugefügt

Bashar

wasiliy schrieb:

hmm ich bin nicht so fit mit wurzeln, deshalb war das quadrieren das einzige, was mir einfiel. kannst du das vielleicht noch erläutern, was du mit "durch n kürzen" meinst?

Naja, genau so wie du durch n² gekürzt hast:

\lim \frac{\sqrt{4n^2+n}}{3n+1} \stackrel{(: n)}{=} \lim \frac{\sqrt{4 + \frac{1}{n}}}{3+\frac{1}{n}} = \frac{2}{3}

hmm wenn die folge gegen $-\frac{2}{3}$ konvergiert wär dann hätt ich einfach trotzdem die wurzel aus $\frac{4}{9}$ gezogen und das minus zum schluss hinzugefügt

Ja, klar

wasiliy

hmm, achso, ich wusste nicht, dass ich das einfach so machen darf, aber es leuchtet ein.