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Hey,
Ich war in den letzten 2 Wochen faul und habe gerade Probleme wieder in den Stoff zu kommen. Kann vielleicht jemand drüber schauen und mir sagen, ob der Beweis so richtig ist?
Aufgabe:
Es sein (E,∥⋅∥)(E, \Vert \cdot \Vert)(E,∥⋅∥) ein normierter Vektorraum und (K_n)_n∈N(K\_n)\_{n\in \mathbb{N}}(K_n)_n∈N eine Folge nichtleerer kompakter Teilmengen in E mit Kn+1⊂KnK_{n+1} \subset K_nKn+1⊂Kn. Man zeige, dass K:=∩_n∞K_n≠∅K:=\cap\_n^{\infty}K\_n \neq \emptysetK:=∩_n∞K_n≠∅.
Fall 1: Falls ein n existiert, so dass Kn+p=KnK_{n+p}=K_nKn+p=Kn für alle p, ist die Aussage erfüllt mit K=K_n.
Fall 2: Für alle n existiert ein p, so dass Kn+p≠KnK_{n+p}\neq K_nKn+p≠Kn
=> alle K_n besitzen unendlich viele Elemente.
K ist Kompakt, da K1K_1K1 bereits kompakt nach Annahme ist. Da E ein normierter Vektorraum ist, ist K Folgenkompakt und jede Folge in K besitzt einen Häufungspunkt in K.
Betrachte Folge (x_i)_i∈N(x\_i)\_{i \in \mathbb{N}}(x_i)_i∈N mit x_i∈K_ix\_i \in K\_ix_i∈K_i. Da alle K_n Kompakt, besitzt die Teilfolge (x_i)_i>n(x\_i)\_{i > n}(x_i)_i>n einen Häufungspunkt in K_n. Da dies für alle K_n gilt=> Häufungspunkt der Folge ist in K => K nicht leer.
Oder denke ich zu kompliziert?