Gleichmässig und Lipschitz stetig

Das ergibt keinen Sinn, ich wähle D = [1,3] U [5,6] und A := [1,3] sowie B := [5,6], dann habe ich deinen Definitionsbereich erfüllt.
Dazu:
f(x) := sqrt(x)

somit sind f|A und f|B gleichmäßig stetig, aber f ist es nicht!

Ähem schrieb:

Das ergibt keinen Sinn, ich wähle D = [1,3] U [5,6] und A := [1,3] sowie B := [5,6], dann habe ich deinen Definitionsbereich erfüllt.
Dazu:
f(x) := sqrt(x)

somit sind f|A und f|B gleichmäßig stetig, aber f ist es nicht!

Da aus f lipschitz-stetig => f gleichmäßig stetig lässt sich mein Einwand auch leicht auf lipschitz-stetige Funktionen übertragen

Zu deinem ersten Punkt: auch das gilt nicht, wenn D = [1,9) dann A := [1,5] und B:= (5,9) dann ist deine Forderung wieder erfüllt. Dazu wählt man f(x) := sqrt(x)
Sei x_n eine beliebige Folge mit x_n € B und x_n -> 9 für n -> unendlich.
Dann gilt f( x_n ) -> 3 für n -> unendlich, man kann also f auf einem abgeschlossenen Intervall stetig forsetzen und erhält D' = D U {9}

Ähem ist ein Troll: falsche Antworten

cbvcbvcb schrieb:

Ähem ist ein Troll: falsche Antworten

Bist das wieder du Ben04, weil du die Einwände nicht magst?
Falls nicht, sorry für die falsche Anschuldigung, aber du solltest halt konsequenz posten, also ganz als Unreg, oder ganz als Reg und nicht so gemischt, das verwirrt nur.

@Ähems Einwände: also das letzte mit sqrt(x) ist natürlich dumm gewählt, da sqrt ja gleichmäßig stetig ist.

Bei deinen Voraussetzungen fehlt, dass D zusammenhängend ist. Da du dich nur auf den eindimensionalen Fall beschränken willst, also dass D ein Intervall ist.
Ansonsten versuch doch einfach mal zur Übung deine Aussagen zu beweisen, dann sieht man meist ganz schnell wo etwas schiefgehen könnte. Oder wo man eine zusätzliche Voraussetzung benötigt.

Ben04

Nee, ich post in diesem Thread nur noch als Reg. An sich wollte ich auch konsequent mit dem ursprünglichen Namen posten, aber bei dem einen Post war mir nicht aufgefallen, dass ich noch eingeloggt war.

Danke für deine Antwort.

Ähem schrieb:

Das ergibt keinen Sinn, ich wähle D = [1,3] U [5,6] und A := [1,3] sowie B := [5,6], dann habe ich deinen Definitionsbereich erfüllt.
Dazu:
f(x) := sqrt(x)

somit sind f|A und f|B gleichmäßig stetig, aber f ist es nicht!

bei kompakten metrischen Räumen fallen stetig und glm stetig zusammen. genauso ist dein Argument für L-stetig falsch

sorry aber schrieb:

Ähem schrieb:

Das ergibt keinen Sinn, ich wähle D = [1,3] U [5,6] und A := [1,3] sowie B := [5,6], dann habe ich deinen Definitionsbereich erfüllt.
Dazu:
f(x) := sqrt(x)

somit sind f|A und f|B gleichmäßig stetig, aber f ist es nicht!

bei kompakten metrischen Räumen fallen stetig und glm stetig zusammen. genauso ist dein Argument für L-stetig falsch

Also hier Satz16JZ http://www.mathepedia.de/Gleichmaeszige_Stetigkeit.aspx fordert nicht nur die Kompaktheit des Definitionsbereiches, sondern auch, dass f auf dem Definitionsbereich stetig ist. Und meine Beispielfunktion ist nicht stetig.

f ist Einschränkung einer stetigen Funktion sqrt(x) auf [0,infinity), also stetig

sorry aber schrieb:

f ist Einschränkung einer stetigen Funktion sqrt(x) auf [0,infinity), also stetig

sqrt(x) ist sicher stetig, mein f jedoch nicht. Wenn es dir leichter fällt kannst du für f|A oder f|B ja eine andere gleichmäßig stetige Funktion wählen, dann sind weiterhin f|A und f|B gleichmäßig stetig, aber dann wirst auch du mir recht geben müssen, dass f (mit D = A U nicht gleichmäßig stetig ist.

Ich möchte am Rande mal noch anmerken, dass das Konzept der Lipschitz-Stetigkeit und der gleichmäßigen Stetigkeit im eindimensionalen keine so große Rolle spielen, sie tauchen beide in einer Analysis1-Vorlesung höchstens mal am Rande in einem Beweis auf.
Wenn man sich einmal die Sätze aus einer Analysis2-Vorlesung ansieht wird man feststellen, dass oft die gleichmäßige Stetigkeit oder gar die Lipschitz-Stetigkeit gefordert wird.

Ähem schrieb:

sorry aber schrieb:

f ist Einschränkung einer stetigen Funktion sqrt(x) auf [0,infinity), also stetig

sqrt(x) ist sicher stetig, mein f jedoch nicht.

dein f ist doch sqrt(x) eingeschränkt auf A U B?

sorry aber schrieb:

Ähem schrieb:

sorry aber schrieb:

f ist Einschränkung einer stetigen Funktion sqrt(x) auf [0,infinity), also stetig

sqrt(x) ist sicher stetig, mein f jedoch nicht.

dein f ist doch sqrt(x) eingeschränkt auf A U B?

Ja, aber du hast ja eine Lücke zwischen A und B, also D ist ja kein Intervall mehr.

Ähem schrieb:

sorry aber schrieb:

Ähem schrieb:

sorry aber schrieb:

f ist Einschränkung einer stetigen Funktion sqrt(x) auf [0,infinity), also stetig

sqrt(x) ist sicher stetig, mein f jedoch nicht.

dein f ist doch sqrt(x) eingeschränkt auf A U B?

Ja, aber du hast ja eine Lücke zwischen A und B, also D ist ja kein Intervall mehr.

das stimmt, ändert aber nichts an der Stetigkeit

Oha, ich hatte die Funktion von Ähem anders aufgefasst, dann nehme ich zurück was ich früher gesagt habe.

Aber ich möchte eine andere Funktion konstruieren:
A := [1,2) und B := [2,3]

mit f|A(x) := x und f|B(x) := sin(x²)
Diese sind beide gleichmäßig stetig, aber die Funktion f mit D := A U B und f(x) := f|A(x) für x € A und f(x) := f|B(x) für x € B ist nicht stetig bei x = 2, denn der linke Grenzwert ist 2 und der rechte Grenzwert ist sin(4).
Da f nicht stetig => f ist nicht gleichmäßig stetig (<=> f gleichmäßig stetig => f stetig)

Helferlein schrieb:

Oha, ich hatte die Funktion von Ähem anders aufgefasst, dann nehme ich zurück was ich früher gesagt habe.

Aber ich möchte eine andere Funktion konstruieren:
A := [1,2) und B := [2,3]

mit f|A(x) := x und f|B(x) := sin(x²)
Diese sind beide gleichmäßig stetig, aber die Funktion f mit D := A U B und f(x) := f|A(x) für x € A und f(x) := f|B(x) für x € B ist nicht stetig bei x = 2, denn der linke Grenzwert ist 2 und der rechte Grenzwert ist sin(4).
Da f nicht stetig => f ist nicht gleichmäßig stetig (<=> f gleichmäßig stetig => f stetig)

Kurz: es fehlt f € C(D,IR)

Another Helferlein schrieb:

Helferlein schrieb:

Oha, ich hatte die Funktion von Ähem anders aufgefasst, dann nehme ich zurück was ich früher gesagt habe.

Aber ich möchte eine andere Funktion konstruieren:
A := [1,2) und B := [2,3]

mit f|A(x) := x und f|B(x) := sin(x²)
Diese sind beide gleichmäßig stetig, aber die Funktion f mit D := A U B und f(x) := f|A(x) für x € A und f(x) := f|B(x) für x € B ist nicht stetig bei x = 2, denn der linke Grenzwert ist 2 und der rechte Grenzwert ist sin(4).
Da f nicht stetig => f ist nicht gleichmäßig stetig (<=> f gleichmäßig stetig => f stetig)

Kurz: es fehlt f € C(D,IR)

In der ursprünglichen Fragestellung von Ben war das auch nicht gefordert, nur:

f: D --> IR, D=union(A,B).

Natürlich hast du Recht, dass die fehlende Stetigkeit der Grund dafür ist, dass es nicht funktioniert