vollständige induktion

XFame

Die rechte Seite sollte (n+1)^(n+1) lauten.

ok iwie schnall ich des net wieso (n+1)^(n+1) ?

kannst du mal den kompletten gang aufschrieben?

wär echt nett mein schädel platzt grad

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gasst schrieb:

ok iwie schnall ich des net wieso (n+1)^(n+1) ?

kannst du mal den kompletten gang aufschrieben?

wär echt nett mein schädel platzt grad

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ok erst denken dann schreiben, is ja sowas von einfach eig.

immerhin hab ich ne gute ausrede: bin stark erkältet sonst müsst ich mich jetz in grund und boden schämen, danke frame

Prof84

Ging das nicht so?

1. Induktionsanfang,
2. Induktionsannahme,
3. Induktionsschluss.

Fehlt dann nicht 2. Induktionsannahme?
http://de.wikipedia.org/wiki/Vollständige_Induktion

ok, und wie sieht so ne induktionsannahme aus?

häh?

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nur zur info ich studier kein mathe, deshalb bin ich hier nicht auf meinem gebiet , bin eig chemiker der jetz bioinformatik macht

Prof84

Beweise:
n! < n^n

2^n < n!

habe ich bereits bewiesen, aber was hat das mit induktionsannahme zu tun?

steh ich heut soo auf dem schlauch?

ach gott .... was mach ich nur

kann mir bitte einer den KOMPLETTEN beweis einfach hinschreiben?

ich glaub ich schaff des heut nimmer, vielen dank

Prof84

Was mir noch eingefallen ist:
n! < f(n) < n^n

Wenn wir ein f(n) finden, dass wir zwischen den Termen quetschen können und dessen Umformung und Beurteilung leicht wäre, wäre der Beweis erbracht.

Nur fällt mir keiner ein.

@guesst: Ein vollständiger, ausführlicher und pädagogisch wertvoller Induktionsbeweis sollte so aussehen:

Zu zeigen: n! < n^n f+r alle n >= 2

Induktionsanfang (n=2): 2! = 2 < 4 = 2^2. ok!
Induktionsannahme: Für ein festes (aber beliebiges) n >= 2 gelte n! < n^n
Induktionsschritt (n -> n+1):
(n+1)! ..... < ..... (n+1)^(n+1)

Die ..... auzufüllen bleibt dir überlassen, fremde Hausaufgaben machen ist langweilig. Dabei benutzt man natürlich die Induktionsannahme. Wenn du einen Ansatz hast, aber nicht weiterkommst, sag bescheid

(Die Abschätzung ist übrigens gar nicht so schwer, da braucht man keine "Zwischenfunktionen". Aber ich will unserem Fragesteller nicht den Spaß nehmen )

Prof84

Taurin unterwegs schrieb:

(Die Abschätzung ist übrigens gar nicht so schwer, da braucht man keine "Zwischenfunktionen". Aber ich will unserem Fragesteller nicht den Spaß nehmen )

Ich finde den Beweis schwierig. Was Du zeigst hätte auch jeder gekonnt.
Jedenfalls kenne oder erkenne ich die Problemmuster nicht (dann ist es bestimmt schwer ).

Taurin

Hm... ist das doch so schwer? Oder übersehe ich etwas? Dann schreibe ich es doch mal auf (auch wenn ich eigentlich nicht gerne fremde Hausaufgaben mache)

(n+1)! = (n+1) * n! < (n+1) * n^n < (n+1) * (n+1)^n = (n+1)^(n+1)

Prof84

Taurin schrieb:

Hm... ist das doch so schwer? Oder übersehe ich etwas? Dann schreibe ich es doch mal auf (auch wenn ich eigentlich nicht gerne fremde Hausaufgaben mache)

(n+1)! = (n+1) * n! < (n+1) * n^n < (n+1) * (n+1)^n = (n+1)^(n+1)

Wie? Ich dachte du kommst ohne "Zwischenfunktion" aus.
Und was ist dann: (n+1) * n^n ?

Außerdem fehlt der Beweis, dass die Ungleichung:
(n+1) * n! < (n+1) * n^n
gilt.

Taurin

Prof84 schrieb:

Außerdem fehlt der Beweis, dass die Ungleichung:
(n+1) * n! < (n+1) * n^n
gilt.

Das ist doch gerade die Induktionsannahme.

Prof84 schrieb:

Wie? Ich dachte du kommst ohne "Zwischenfunktion" aus.
Und was ist dann: (n+1) * n^n ?

Hm... vielleicht ist der Begriff "Zwischenfunktion" zu schwammig Für mich klingt "Zwischenfunktion" so, als würde man aufwendig irgendwas konstruieren. Aber (n+1) * n^n kommt ja direkt aus der Induktionsannahme/-schritt

Prof84

Hallo,

bedaure! Aus meiner Perspektive hast Du weder in der Induktionsannahme noch im Induktionschritt bewiesen, dass die Ungleichung gilt bzw wahr ist.

Prof84 schrieb:

Hallo,

bedaure! Aus meiner Perspektive hast Du weder in der Induktionsannahme noch im Induktionschritt bewiesen, dass die Ungleichung gilt bzw wahr ist.

Taurins Beweis ist einwandfrei. Beweise mathematischer Aussagen müssen nicht von jedem verstanden werden um richtig zu sein.

Als Mathematiker (naja angehender) kann ich aber bestätigen, dass Taurins Beweis richtig ist. Erfreue dich also daran, dass die Aussage gilt und überlasse den Beweis uns

Mathematikker schrieb:

Als Mathematiker (naja angehender) kann ich aber bestätigen, dass Taurins Beweis richtig ist. Erfreue dich also daran, dass die Aussage gilt und überlasse den Beweis uns

Hey... nur weil ich Sachen beweisen kann, bin ich noch lange kein Mathematiker - nur ein armer, kleiner Ingenieur, der sich ab und zu in die Mathematik verirrt

@Prof84: Der Trick bei Induktionsbeweisen ist ja gerade, dass du die Induktionsannahme nicht beweisen musst. Du zeigst nur, dass die Aussage für (hier) n=2 gilt. Dann zeigst du, dass falls die Aussage für ein beliebiges (aber festes) n gilt, sie auch für n+1 gilt. Da sie für n=2 gilt, gilt sie auch für n+1=2+1=3. Gilt sie für 3, gilt sie auch für 4.... usw.

SideWinder

Zurückzuführen auf das 5. Peano-Axiom, welches die natürlichen Zahlen definiert.

@Prof84: Hattest du nicht einen Universitäts-Abschluss? Kommt man da ohne vollständige Induktion über das erste Semester?

MfG SideWinder

Prof84

Taurin unterwegs schrieb:

@Prof84: Der Trick bei Induktionsbeweisen ist ja gerade, dass du die Induktionsannahme nicht beweisen musst. Du zeigst nur, dass die Aussage für (hier) n=2 gilt. Dann zeigst du, dass falls die Aussage für ein beliebiges (aber festes) n gilt, sie auch für n+1 gilt. Da sie für n=2 gilt, gilt sie auch für n+1=2+1=3. Gilt sie für 3, gilt sie auch für 4.... usw.

Pfft, bedaure sehe ich nicht so :

Selbst im Induktionsschritt muss du einen Schulterschluss der Gleichung der Induktionsannahme führen. Du kannst nicht die linke und die rechte Hälfte der Gleichung im Induktionsschritt unababhängig betrachten und nur weil am linken und am rechten Teil durch die schöne Unformungen die Terme des Induktionsschrittes (n+1) auftauchen, annehmen die Ungleichung stimmt. (explizit: < muss irgendwo bewiesen werden!!!) Du hast immer noch nicht bewiesen, dass im Indukionsschritt die Ungleichung wahr ist! An keiner Stelle!

Über die vollständige Induktion mit der gültigkeit n>2 können wir erst reden, wenn die Ungleichung bewiesen ist. Das ist nämlich der fiese Unterschied zwischen Gleichungen und Ungleichungen!!!

Prof84 schrieb:

Über die vollständige Induktion mit der gültigkeit n>2 können wir erst reden, wenn die Ungleichung bewiesen ist.

Um die Ungleichung zu beweisen, macht mach doch die Induktion. Du kannst sie natürlich auch anders beweisen, aber danach brauchst du den Induktionsbeweis nichtmehr.

Prof84 schrieb:

Pfft, bedaure sehe ich nicht so :

Eine persönliche Meinung ist bei der ganzen Beweiserrei erstmal egal Andernfalls können wir auch einen demokratischen Mehrheitsbeschluss über die Korrektheit des Beweises machen