vollständige induktion
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ach gott .... was mach ich nur
kann mir bitte einer den KOMPLETTEN beweis einfach hinschreiben?
ich glaub ich schaff des heut nimmer, vielen dank
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Was mir noch eingefallen ist:
n! < f(n) < n^nWenn wir ein f(n) finden, dass wir zwischen den Termen quetschen können und dessen Umformung und Beurteilung leicht wäre, wäre der Beweis erbracht.
Nur fällt mir keiner ein.
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@guesst: Ein vollständiger, ausführlicher und pädagogisch wertvoller Induktionsbeweis sollte so aussehen:
Zu zeigen: n! < n^n f+r alle n >= 2
Induktionsanfang (n=2): 2! = 2 < 4 = 2^2. ok!
Induktionsannahme: Für ein festes (aber beliebiges) n >= 2 gelte n! < n^n
Induktionsschritt (n -> n+1):
(n+1)! ..... < ..... (n+1)^(n+1)Die ..... auzufüllen bleibt dir überlassen, fremde Hausaufgaben machen ist langweilig. Dabei benutzt man natürlich die Induktionsannahme. Wenn du einen Ansatz hast, aber nicht weiterkommst, sag bescheid
(Die Abschätzung ist übrigens gar nicht so schwer, da braucht man keine "Zwischenfunktionen". Aber ich will unserem Fragesteller nicht den Spaß nehmen
)
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Taurin unterwegs schrieb:
(Die Abschätzung ist übrigens gar nicht so schwer, da braucht man keine "Zwischenfunktionen". Aber ich will unserem Fragesteller nicht den Spaß nehmen
)Ich finde den Beweis schwierig. Was Du zeigst hätte auch jeder gekonnt.
Jedenfalls kenne oder erkenne ich die Problemmuster nicht
(dann ist es bestimmt schwer 
).
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Hm... ist das doch so schwer? Oder übersehe ich etwas? Dann schreibe ich es doch mal auf (auch wenn ich eigentlich nicht gerne fremde Hausaufgaben mache)
(n+1)! = (n+1) * n! < (n+1) * n^n < (n+1) * (n+1)^n = (n+1)^(n+1)
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Taurin schrieb:
Hm... ist das doch so schwer? Oder übersehe ich etwas? Dann schreibe ich es doch mal auf (auch wenn ich eigentlich nicht gerne fremde Hausaufgaben mache)
(n+1)! = (n+1) * n! < (n+1) * n^n < (n+1) * (n+1)^n = (n+1)^(n+1)
Wie? Ich dachte du kommst ohne "Zwischenfunktion" aus.
Und was ist dann: (n+1) * n^n ?Außerdem fehlt der Beweis, dass die Ungleichung:
(n+1) * n! < (n+1) * n^n
gilt.
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Prof84 schrieb:
Außerdem fehlt der Beweis, dass die Ungleichung:
(n+1) * n! < (n+1) * n^n
gilt.Das ist doch gerade die Induktionsannahme.
Prof84 schrieb:
Wie? Ich dachte du kommst ohne "Zwischenfunktion" aus.
Und was ist dann: (n+1) * n^n ?Hm... vielleicht ist der Begriff "Zwischenfunktion" zu schwammig
Für mich klingt "Zwischenfunktion" so, als würde man aufwendig irgendwas konstruieren. Aber (n+1) * n^n kommt ja direkt aus der Induktionsannahme/-schritt
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Hallo,
bedaure! Aus meiner Perspektive hast Du weder in der Induktionsannahme noch im Induktionschritt bewiesen, dass die Ungleichung gilt bzw wahr ist.
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Prof84 schrieb:
Hallo,
bedaure! Aus meiner Perspektive hast Du weder in der Induktionsannahme noch im Induktionschritt bewiesen, dass die Ungleichung gilt bzw wahr ist.
Taurins Beweis ist einwandfrei. Beweise mathematischer Aussagen müssen nicht von jedem verstanden werden um richtig zu sein.
Als Mathematiker (naja angehender) kann ich aber bestätigen, dass Taurins Beweis richtig ist. Erfreue dich also daran, dass die Aussage gilt und überlasse den Beweis uns
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Mathematikker schrieb:
Als Mathematiker (naja angehender) kann ich aber bestätigen, dass Taurins Beweis richtig ist. Erfreue dich also daran, dass die Aussage gilt und überlasse den Beweis uns
Hey... nur weil ich Sachen beweisen kann, bin ich noch lange kein Mathematiker - nur ein armer, kleiner Ingenieur, der sich ab und zu in die Mathematik verirrt
@Prof84: Der Trick bei Induktionsbeweisen ist ja gerade, dass du die Induktionsannahme nicht beweisen musst. Du zeigst nur, dass die Aussage für (hier) n=2 gilt. Dann zeigst du, dass falls die Aussage für ein beliebiges (aber festes) n gilt, sie auch für n+1 gilt. Da sie für n=2 gilt, gilt sie auch für n+1=2+1=3. Gilt sie für 3, gilt sie auch für 4.... usw.
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Zurückzuführen auf das 5. Peano-Axiom, welches die natürlichen Zahlen definiert.
@Prof84: Hattest du nicht einen Universitäts-Abschluss? Kommt man da ohne vollständige Induktion über das erste Semester?
MfG SideWinder
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Taurin unterwegs schrieb:
@Prof84: Der Trick bei Induktionsbeweisen ist ja gerade, dass du die Induktionsannahme nicht beweisen musst. Du zeigst nur, dass die Aussage für (hier) n=2 gilt. Dann zeigst du, dass falls die Aussage für ein beliebiges (aber festes) n gilt, sie auch für n+1 gilt. Da sie für n=2 gilt, gilt sie auch für n+1=2+1=3. Gilt sie für 3, gilt sie auch für 4.... usw.
Pfft, bedaure sehe ich nicht so
:Selbst im Induktionsschritt muss du einen Schulterschluss der Gleichung der Induktionsannahme führen. Du kannst nicht die linke und die rechte Hälfte der Gleichung im Induktionsschritt unababhängig betrachten und nur weil am linken und am rechten Teil durch die schöne Unformungen die Terme des Induktionsschrittes (n+1) auftauchen, annehmen die Ungleichung stimmt. (explizit: < muss irgendwo bewiesen werden!!!) Du hast immer noch nicht bewiesen, dass im Indukionsschritt die Ungleichung wahr ist! An keiner Stelle!
Über die vollständige Induktion mit der gültigkeit n>2 können wir erst reden, wenn die Ungleichung bewiesen ist. Das ist nämlich der fiese Unterschied zwischen Gleichungen und Ungleichungen!!!
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Prof84 schrieb:
Über die vollständige Induktion mit der gültigkeit n>2 können wir erst reden, wenn die Ungleichung bewiesen ist.
Um die Ungleichung zu beweisen, macht mach doch die Induktion. Du kannst sie natürlich auch anders beweisen, aber danach brauchst du den Induktionsbeweis nichtmehr.
Prof84 schrieb:
Pfft, bedaure sehe ich nicht so
:Eine persönliche Meinung ist bei der ganzen Beweiserrei erstmal egal
Andernfalls können wir auch einen demokratischen Mehrheitsbeschluss über die Korrektheit des Beweises machen
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Taurin unterwegs schrieb:
Prof84 schrieb:
Über die vollständige Induktion mit der gültigkeit n>2 können wir erst reden, wenn die Ungleichung bewiesen ist.
Um die Ungleichung zu beweisen, macht mach doch die Induktion. Du kannst sie natürlich auch anders beweisen, aber danach brauchst du den Induktionsbeweis nichtmehr.
I: Induktionsannahme:
LT(n) < RT(n) (kleiner nicht bewiesen)II: Induktionsschluss
LT(n+1) < RT(n+1) (kleiner immer nicht bewiesen)mit LT := linker Term ; RT := rechter Term
Damit das 5. Peano-Axiom anwendbar ist, muss < in I oder II als wahr bewiesen werden.... danach gebe ich es auf ...
SideWinder schrieb:
@Prof84: Hattest du nicht einen Universitäts-Abschluss? Kommt man da ohne vollständige Induktion über das erste Semester?
Ich hatte VI im Mathe LK, im Chemie und Physik Grundstudium. Ich gebe zu, da ist nicht mehr viel hängen geblieben, aber soviel weiß ich noch.
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Prof84 schrieb:
Damit das 5. Peano-Axiom anwendbar ist, muss < in I oder II als wahr bewiesen werden.
Nur dass I der Induktionsanfang ist, also die Aussage für n=1. Annahmen beweist man normalerweise nicht, deshalb heißen sie ja so.
Ich hatte VI im Mathe LK, im Chemie und Physik Grundstudium. Ich gebe zu, da ist nicht mehr viel hängen geblieben, aber soviel weiß ich noch.
Der Wikipedia-Artikel zur Induktion ist ganz nett ...
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Dir fehlt das grundlegende Verständnis der Induktion, denn im Induktionsanfang zeigt man dass die Behauptung, ich möchte sie hier B nennen, für eine Zahl n gilt. In der Induktionsannahme nimmt man an dass für ein n die Behauptung B war ist. Das Ganze schreibt man auch als B(n). Und unter dieser Annahme zeigt man dass wenn B(n) wahr ist, muss auch B(n+1) wahr sein. Denn dann kann man zeigen dass wenn B(0) wahr ist auch B(1), B(2), B(3), ... war ist.
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Bashar schrieb:
Prof84 schrieb:
Damit das 5. Peano-Axiom anwendbar ist, muss < in I oder II als wahr bewiesen werden.
Nur dass I der Induktionsanfang ist, also die Aussage für n=1. Annahmen beweist man normalerweise nicht, deshalb heißen sie ja so.
Du hast recht! Die Annahme beweist man nicht. Die machen mich hier ganz irre ...
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Bitte ein Bit schrieb:
Dir fehlt das grundlegende Verständnis der Induktion, denn im Induktionsanfang zeigt man dass die Behauptung, ich möchte sie hier B nennen, für eine Zahl n gilt. In der Induktionsannahme nimmt man an dass für ein n die Behauptung B war ist. Das Ganze schreibt man auch als B(n). Und unter dieser Annahme zeigt man dass wenn B(n) wahr ist, muss auch B(n+1) wahr sein. Denn dann kann man zeigen dass wenn B(0) wahr ist auch B(1), B(2), B(3), ... war ist.
Und Dir fehlt es an Verständnis worum es hier überhaupt geht. Der Nachweis für B(n+1) ist hier nicht erbracht worden.
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Natürlich beweist man die Annahme. Sonst bleibt es ja ewig nur eine Annahme.
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Prof84 schrieb:
Der Nachweis für B(n+1) ist hier nicht erbracht worden.
Doch, wenn auch nicht explizit.
(n+1)*n! < (n+1)*n^n kommt ja direkt aus der Induktionsannahme. Eine Ungleichung bleibt gültig, wenn man beide Seiten mit einer positiven Zahl multipliziert. Die restlichen Schritte sind auch alle korrekt.