vollständige induktion

Prof84

Hallo,

bedaure! Aus meiner Perspektive hast Du weder in der Induktionsannahme noch im Induktionschritt bewiesen, dass die Ungleichung gilt bzw wahr ist.

Prof84 schrieb:

Hallo,

bedaure! Aus meiner Perspektive hast Du weder in der Induktionsannahme noch im Induktionschritt bewiesen, dass die Ungleichung gilt bzw wahr ist.

Taurins Beweis ist einwandfrei. Beweise mathematischer Aussagen müssen nicht von jedem verstanden werden um richtig zu sein.

Als Mathematiker (naja angehender) kann ich aber bestätigen, dass Taurins Beweis richtig ist. Erfreue dich also daran, dass die Aussage gilt und überlasse den Beweis uns

Mathematikker schrieb:

Als Mathematiker (naja angehender) kann ich aber bestätigen, dass Taurins Beweis richtig ist. Erfreue dich also daran, dass die Aussage gilt und überlasse den Beweis uns

Hey... nur weil ich Sachen beweisen kann, bin ich noch lange kein Mathematiker - nur ein armer, kleiner Ingenieur, der sich ab und zu in die Mathematik verirrt

@Prof84: Der Trick bei Induktionsbeweisen ist ja gerade, dass du die Induktionsannahme nicht beweisen musst. Du zeigst nur, dass die Aussage für (hier) n=2 gilt. Dann zeigst du, dass falls die Aussage für ein beliebiges (aber festes) n gilt, sie auch für n+1 gilt. Da sie für n=2 gilt, gilt sie auch für n+1=2+1=3. Gilt sie für 3, gilt sie auch für 4.... usw.

SideWinder

Zurückzuführen auf das 5. Peano-Axiom, welches die natürlichen Zahlen definiert.

@Prof84: Hattest du nicht einen Universitäts-Abschluss? Kommt man da ohne vollständige Induktion über das erste Semester?

MfG SideWinder

Prof84

Taurin unterwegs schrieb:

@Prof84: Der Trick bei Induktionsbeweisen ist ja gerade, dass du die Induktionsannahme nicht beweisen musst. Du zeigst nur, dass die Aussage für (hier) n=2 gilt. Dann zeigst du, dass falls die Aussage für ein beliebiges (aber festes) n gilt, sie auch für n+1 gilt. Da sie für n=2 gilt, gilt sie auch für n+1=2+1=3. Gilt sie für 3, gilt sie auch für 4.... usw.

Pfft, bedaure sehe ich nicht so :

Selbst im Induktionsschritt muss du einen Schulterschluss der Gleichung der Induktionsannahme führen. Du kannst nicht die linke und die rechte Hälfte der Gleichung im Induktionsschritt unababhängig betrachten und nur weil am linken und am rechten Teil durch die schöne Unformungen die Terme des Induktionsschrittes (n+1) auftauchen, annehmen die Ungleichung stimmt. (explizit: < muss irgendwo bewiesen werden!!!) Du hast immer noch nicht bewiesen, dass im Indukionsschritt die Ungleichung wahr ist! An keiner Stelle!

Über die vollständige Induktion mit der gültigkeit n>2 können wir erst reden, wenn die Ungleichung bewiesen ist. Das ist nämlich der fiese Unterschied zwischen Gleichungen und Ungleichungen!!!

Prof84 schrieb:

Über die vollständige Induktion mit der gültigkeit n>2 können wir erst reden, wenn die Ungleichung bewiesen ist.

Um die Ungleichung zu beweisen, macht mach doch die Induktion. Du kannst sie natürlich auch anders beweisen, aber danach brauchst du den Induktionsbeweis nichtmehr.

Prof84 schrieb:

Pfft, bedaure sehe ich nicht so :

Eine persönliche Meinung ist bei der ganzen Beweiserrei erstmal egal Andernfalls können wir auch einen demokratischen Mehrheitsbeschluss über die Korrektheit des Beweises machen

Prof84

Taurin unterwegs schrieb:

Prof84 schrieb:

Über die vollständige Induktion mit der gültigkeit n>2 können wir erst reden, wenn die Ungleichung bewiesen ist.

Um die Ungleichung zu beweisen, macht mach doch die Induktion. Du kannst sie natürlich auch anders beweisen, aber danach brauchst du den Induktionsbeweis nichtmehr.

I: Induktionsannahme:
LT(n) < RT(n) (kleiner nicht bewiesen)

II: Induktionsschluss
LT(n+1) < RT(n+1) (kleiner immer nicht bewiesen)

mit LT := linker Term ; RT := rechter Term
Damit das 5. Peano-Axiom anwendbar ist, muss < in I oder II als wahr bewiesen werden.

... danach gebe ich es auf ...

SideWinder schrieb:

@Prof84: Hattest du nicht einen Universitäts-Abschluss? Kommt man da ohne vollständige Induktion über das erste Semester?

Ich hatte VI im Mathe LK, im Chemie und Physik Grundstudium. Ich gebe zu, da ist nicht mehr viel hängen geblieben, aber soviel weiß ich noch.

Bashar

Prof84 schrieb:

Damit das 5. Peano-Axiom anwendbar ist, muss < in I oder II als wahr bewiesen werden.

Nur dass I der Induktionsanfang ist, also die Aussage für n=1. Annahmen beweist man normalerweise nicht, deshalb heißen sie ja so.

Ich hatte VI im Mathe LK, im Chemie und Physik Grundstudium. Ich gebe zu, da ist nicht mehr viel hängen geblieben, aber soviel weiß ich noch.

Der Wikipedia-Artikel zur Induktion ist ganz nett ...

Bitte ein Bit

@Prof84:

Dir fehlt das grundlegende Verständnis der Induktion, denn im Induktionsanfang zeigt man dass die Behauptung, ich möchte sie hier B nennen, für eine Zahl n gilt. In der Induktionsannahme nimmt man an dass für ein n die Behauptung B war ist. Das Ganze schreibt man auch als B(n). Und unter dieser Annahme zeigt man dass wenn B(n) wahr ist, muss auch B(n+1) wahr sein. Denn dann kann man zeigen dass wenn B(0) wahr ist auch B(1), B(2), B(3), ... war ist.

Prof84

Bashar schrieb:

Prof84 schrieb:

Damit das 5. Peano-Axiom anwendbar ist, muss < in I oder II als wahr bewiesen werden.

Nur dass I der Induktionsanfang ist, also die Aussage für n=1. Annahmen beweist man normalerweise nicht, deshalb heißen sie ja so.

Du hast recht! Die Annahme beweist man nicht. Die machen mich hier ganz irre ...

Prof84

Bitte ein Bit schrieb:

@Prof84:

Dir fehlt das grundlegende Verständnis der Induktion, denn im Induktionsanfang zeigt man dass die Behauptung, ich möchte sie hier B nennen, für eine Zahl n gilt. In der Induktionsannahme nimmt man an dass für ein n die Behauptung B war ist. Das Ganze schreibt man auch als B(n). Und unter dieser Annahme zeigt man dass wenn B(n) wahr ist, muss auch B(n+1) wahr sein. Denn dann kann man zeigen dass wenn B(0) wahr ist auch B(1), B(2), B(3), ... war ist.

Und Dir fehlt es an Verständnis worum es hier überhaupt geht. Der Nachweis für B(n+1) ist hier nicht erbracht worden.

Natürlich beweist man die Annahme. Sonst bleibt es ja ewig nur eine Annahme.

Bashar

Prof84 schrieb:

Der Nachweis für B(n+1) ist hier nicht erbracht worden.

Doch, wenn auch nicht explizit.

(n+1)*n! < (n+1)*n^n kommt ja direkt aus der Induktionsannahme. Eine Ungleichung bleibt gültig, wenn man beide Seiten mit einer positiven Zahl multipliziert. Die restlichen Schritte sind auch alle korrekt.

Prof84

Bashar schrieb:

Prof84 schrieb:

Der Nachweis für B(n+1) ist hier nicht erbracht worden.

Doch, wenn auch nicht explizit.

(n+1)*n! < (n+1)*n^n kommt ja direkt aus der Induktionsannahme. Eine Ungleichung bleibt gültig, wenn man beide Seiten mit einer positiven Zahl multipliziert. Die restlichen Schritte sind auch alle korrekt.

Auch Du mein Sohn Bashar?! - Nö!!!

Taurin schrieb:

(n+1)! = (n+1) * n! < (n+1) * n^n < (n+1) * (n+1)^n = (n+1)^(n+1)

Das für die Obergrenze
(n+1)*n^n < (n+1)*(n+1)^n <=> n < n+1
wahr ist, sagt mir jeder aus den Kindergarten unter mir.

Das für die Untergrenze im Induktionsschritt für n+1 gilt:
(n+1)*n! < (n+1)*n^n
muss bewiesen werden. Ist egal, ob das aus der Annahme kommt oder nicht !!!
Und genau die Umformung, die diese Sache plausible macht, will ich sehen.
Ohne dem kein Beweis des Induktionsschrittes. :p

Bashar

Was meinst du mit Ober- und Untergrenze? Ich kann deiner Argumentation nicht folgen.

Xul

Prof84 schrieb:

Das für die Untergrenze im Induktionsschritt für n+1 gilt:
(n+1)*n! < (n+1)*n^n
muss bewiesen werden. Ist egal, ob das aus der Annahme kommt oder nicht !!!

Nein, muss es nicht. Der Trick im Induktionsbeweis ist, dass man die Induktionsannahme einfach postuliert. Das, was man im Induktionsschritt zeigt, ist lediglich das, was gilt, wenn die Induktionsannahme wahr ist. Ob sie wahr ist oder nicht, spielt dabei erstmal keine Rolle. Der Induktionsanfang dient dann letztlich dazu ein erstes Element zu finden, für das die Induktionsannahme zutrifft. Aus dem Induktionsschritt folgt dann, dass die Annahme auch für den Nachfolger zutrifft und für den Nachfolger des Nachfolgers, etc.

Gruß
xul

@Prof84 eine Diskussion über die Richtigkeit eines Beweises macht keinen Sinn, wenn dir die Grundlagen wie man einen Beweis führt fehlen.

Prof84

Prof84 schrieb:

Was mir noch eingefallen ist:
n! < f(n) < n^n

Wenn wir ein f(n) finden, dass wir zwischen den Termen quetschen können und dessen Umformung und Beurteilung leicht wäre, wäre der Beweis erbracht.

Nur fällt mir keiner ein.

Taurin schrieb:

Hm... ist das doch so schwer? Oder übersehe ich etwas? Dann schreibe ich es doch mal auf (auch wenn ich eigentlich nicht gerne fremde Hausaufgaben mache)

(n+1)! = (n+1) * n! < (n+1) * n^n < (n+1) * (n+1)^n = (n+1)^(n+1

Wie? Ich dachte du kommst ohne "Zwischenfunktion" aus.
Und was ist dann: (n+1) * n^n ?

Taurin hat dann eingesetzt im Induktionsschritt:
(n+1)! < f(n+1)=(n+1)* n^n < (n+1)^(n+1)

Damit ist f(n+1) die Untergrenze von (n+1)^(n+1) und die Obergrenze von (n+1)!

@Xul: Dein Argument habe ich schon ein paar Mal abgeschmettert. Weil es nicht das Thema ist! Wir sind im Induktionsschritt!

Prof84 schrieb:

Prof84 schrieb:

Was mir noch eingefallen ist:
n! < f(n) < n^n

Wenn wir ein f(n) finden, dass wir zwischen den Termen quetschen können und dessen Umformung und Beurteilung leicht wäre, wäre der Beweis erbracht.

Nur fällt mir keiner ein.

Taurin schrieb:

Hm... ist das doch so schwer? Oder übersehe ich etwas? Dann schreibe ich es doch mal auf (auch wenn ich eigentlich nicht gerne fremde Hausaufgaben mache)

(n+1)! = (n+1) * n! < (n+1) * n^n < (n+1) * (n+1)^n = (n+1)^(n+1

Wie? Ich dachte du kommst ohne "Zwischenfunktion" aus.
Und was ist dann: (n+1) * n^n ?

Taurin hat dann eingesetzt im Induktionsschritt:
(n+1)! < f(n+1)=(n+1)* n^n < (n+1)^(n+1)

Damit ist f(n+1) die Untergrenze von (n+1)^(n+1) und die Obergrenze von (n+1)!

Ja, er hat die Induktionsvoraussetzung eingesetzt! Das Ding heißt nicht umsonst Voraussetzung.

Wenn etwas fraglich ist, dann "(n+1) * n^n < (n+1) * (n+1)^n", aber das zu beweisen gehört, wenn überhaupt, in einen Hilfssatz.

ich muss prof rechtgeben: auch wenn der beweis mathematisch korrekt ist; es wird sicher einfacher zu verstehen sein, wenn man beide seiten der ungleichung auf dieselben mathematischen operatoren zurückführt, bspw. multiplikation auf beiden seiten, weil sich dann die beiden seiten besser vergleichen lassen als multiplikation (bzw. das potenzieren) auf der einen und fakultät auf der anderen seite, man sollte also verständlich machen, dass sich n^n schneller "entwickelt" als n!.

tauris beweis - zusammengefasst - sieht so aus:
behauptung: n! < n^n
beweisführung... -> beweis: (n+1)! < (n+1)^(n+1)

es sieht fast so als ob der beweis die behauptung bestätigen muss und umgekehrt, allein dass man die behauptung zuerst prüft (n=1, n=2) und von einem n, für das die behauptung bestätigt wurde, auf ein n+1 schließt macht den beweis nachvollziehbar!
aber trotzdem ziemlich mathematisch die ganze angelegenheit ...