4. Menge einer Implikation

Menge einer Implikation

  • P

    Hallo 😉
    Hab mal ne Frage zur Mengenlehre und Implikation:

    Sie M eine Menge, mit den Teilmengen A und B. Die Menge A enthält alle Elemente für die die Aussage a wahr ist, Menge B eben alle Elemente für die die Aussage b wahr ist.
Welche Menge entsprechricht der Aussage a=>b (Implikation) und a XOR b (ausschließendes Oder)?

    Ich wäre nun so vorgegangen:

    Wenn man sich die Wahrheitstabelle für die Implikation anschaut, dann erkennt man, dass sie der Verknpüfung Γa v b (nicht a oder b) entspricht.
    Also so:
    a => b = { x € M | x Γ€A v x € B} (x der Menge M, mit x nicht in der Menge A oder x in der Menge 😎
    Dasselbe würde ich dann für das XOR aufstellen und dann das Ganze per "und" verknüpfen.

    Kann man das so machen / ist das überhaupt so richtig?! Bin mir da gerade nicht so sicher 😉

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  • .

    Die Implikation stimmt meines Erachtens wenn ¬a v (a ^ b) != ¬a ^ b (aus Falschem (¬a) folgt beliebiges (deshalb sind alle Elemente drin, für die das gilt) und aus a folgt b, also sind alle drin, für die a und b gelten).
    Schöner (und äquivalent) kannst du das noch mit Mengenschreibweise audrücken:
    I = M\A vereinigt (A geschnitten 😎

    Exklusives Oder ist (¬a ^ b) v (a ^ ¬b)
    => X = (M\A geschnitten 😎 vereinigt (A geschnitten M\B) = A\B vereinigt B\A = A ∆ B (symmetrische Differenz)

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  • P

    "I = M\A vereinigt (A geschnitten 😎 "
    Gedacht hieße das dann sowas wie: "Weil aus A B folgt(A =>B), nehme ich alle A aus der Menge M heraus und kann dann nur noch B haben" ?

    Für mein Verständniss: Mein Ansatz war aber doch auch nicht falsch oder?

    A|B|C

f|f|w
f|w|w
w|f|f => DNF (disjunktive Normalform) bilden: ¬A v B = C
w|w|w
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  • ?

    Pille456 schrieb:

    ...
    a => b = { x € M | x Γ€A v x € B} (x der Menge M, mit x nicht in der Menge A oder x in der Menge 😎

    Das ist doch das gleiche in grün wie:
    a => b = { x € M | x € B v x € {0} }

    {0} : Leere Menge, oder wie geht das.
    Wage ich mal zu behaupten. Aber was hat das mit XOR zu tun ? 😕

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  • .

    Ah, ich Depp. Ich hab bei dir (Pille) ein ^ gelesen, kA wieso. Aber so ist's natürlich äquivalent und deine Schreibweise ist auch noch kürzer:
    I = M\A v B

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  • P

    Ahh gut danke 😉 Nun macht es auch alles Sinn.

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