4. Mengenlehre

Mengenlehre

  • V

    icarus2 schrieb:

    Wenn man die Aussage oberhalb in der Mengenschreibweise formuliert ist man bei der Russelschen Anatomie.

    Der Ärmste.

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  • I

    volkard schrieb:

    icarus2 schrieb:

    Wenn man die Aussage oberhalb in der Mengenschreibweise formuliert ist man bei der Russelschen Anatomie.

    Der Ärmste.

    Was meinst du mit der Aermste?
    Ich habe nur ein Beispiel genannt, das auf Russels Anotomie zurueckzufuehren ist. Ist denn daran etwas falsch?

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  • V

    Du hattest geschrieben, er habe eine widersprüchliche Anatomie. 🤡

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  • I

    volkard schrieb:

    Du hattest geschrieben, er habe eine widersprüchliche Anatomie. 🤡

    Nein, es war bloss an anschauliches Beispiel fuer seine Anatomie.

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  • V

    Ok, ich geb's auf.

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  • ?

    Auch im Matheforum gibt's also was zu lachen. Apropos. Wo steckt eigentlich PI?

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  • I

    volkard schrieb:

    Ok, ich geb's auf.

    Achso. Ein Bier spaeter weiss ich was du meinst 😃

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  • C

    Ich hake hier mal ein. Bitte beachten, dass ich quasi keine Mathematische Bildung besitze. (Schüler..)
    Ich verstehe das Paradoxon bei "Es sei R die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht beinhalten.". (Wie bei dem Rasierbeispiel.) Die Frage "Ist R in R?" ist nicht zu beantworten, da R in R sein müsste, wenn R nicht in R ist und R nicht in R sein darf, wenn R in R ist.

    Aber bei "Es sei R die Menge aller Mengen." ist die Frage "Ist R in R?" doch eindeutig mit "Ja" zu beantworten?

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  • C

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  • C

    camper schrieb:

    cooky451 schrieb:

    Aber bei "Es sei R die Menge aller Mengen." ist die Frage "Ist R in R?" doch eindeutig mit "Ja" zu beantworten?

    Und was ist mit der Menge aller Mengen selbst? Anders gefragt: kann eine Menge sich selbst enthalten?

    Ist das ein Unterschied zu "Ist R in R?"? Ich denke nicht, bzw. ich sehe ihn nicht. Ich würde die Frage weiter mit "Die Menge aller Mengen beinhaltet sich selbst, denn die Menge aller Mengen ist ja eine Menge." beantworten. Das gibt zwar irgendwie eine unendliche Rekursion, aber ist das ein Problem?

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  • I

    Ich bin auch kein Mathematiker und trinke heute Abend nicht mein erstes Bier aber ich versuchs mal:

    Wir nehmen an, die Menge aller Mengen existiert. Wir haben dann folglich M = {A | A eine Menge}. Da M selber eine Menge ist gilt folglich, dass M € M. Daraus folgt, dass gewisse Mengen sich selber als Element enthalten.

    Es ist aber auch klar, dass dies nicht fuer alle Mengen gilt. A = {1, 2, 3} enthaelt sich zum Beispiel nicht selber als Element. Wier definieren also die Menge S, als die Menge aller Mengen, die sich selber nicht als Element enthalten. Formalt gilt also S = { A | A nicht Element von A}.
    Jetzt kannst du fuer S in S und S nicht in S den Wiederspruch herleiten.

    Es folgt daraus, dass das Konzept der Menge aller Mengen zu einem Wiederspruch fuehrt.

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  • C

    @icarus2
    Weil es eine paradoxe Menge mit einer bestimmten Eigenschaft (= enthält sich selbst) gibt, schließt du alle Mengen mit der gleichen Eigenschaft aus? Also gibt es auch nicht die Menge aller Mengen, die eine 3 beinhalten und nicht die Menge aller unendlichen Mengen?
    Ich kann das nachvollziehen, aber ich kann irgendwie an nichts festmachen, ob das jetzt als Beweis gültig ist oder nicht. Etwas eigenartig..

    (Edit: Mal logisch nachgedacht ist das eigentlich kein Beweis. Wenn man durch diese eine Paradoxe Menge R alle Mengen mit mindestens einer Eigenschaft aus R ausschließt, gäbe es keine Mengen die Elemente enthalten, denn R enthält offensichtlich Elemente. Schlimm.. :))

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  • I

    Ich denke das ist ein Beweis. Ich versuche es einmal etwas genauer:

    Wir wollen beweisen, dass das Konzept einer Menge aller Mengen wiederspruechlich ist. Um das zu zeigen nehmen wir an, dass es eine Menge aller Mengen gibt und zeigen, dass sich daraus ein Wiederspruch ableiten laesst (dies zeigt dann, dass das Konzept einer Menge wiederspruechlich / nicht sinnvoll ist).

    (i)
    Sei M die Menge aller Mengen. Weill alle Mengen in M enthalten sind und M selber eine Menge ist muss M € M gelten.

    (ii)
    Wir wissen jedoch, dass z.B. X = {1, 2, 3} sich selber nicht als Element enthaelt (es ist egal, was X fuer eine Menge ist, wir zeigen hier bloss, dass es mindestens eine solche Menge gibt. Mehr brauchen wir nicht).

    (iii)
    Aus (ii) schliessen wir also, dass es eine nichtleere Menge S = { A | A nicht in A} gilt. Da S eine Menge ist, gilt also auch S € M.
    Wir muessen uns nun fragen, ob S € S oder S nicht € S. Wir sehen dann, dass sich aus beiden Annahmen einen Wiederspruch ergibt.

    PS:
    Wir haben S bloss aus der Definition einer Menge und der Annahme von M hergeleitet. Wir haben sonst nichts anderes verwendet. Und weil wie die Menge aller Mengen angenommen haben, hat sich der Wiederspruch ergeben.

    Ist das etwas klarer? Ich habe extra (i)-(iii) reingeschrieben, damit du genauer sagen kannst, welchen Schriit du nicht verstehst.

    *Edit
    Ich habe bei (ii) A durch X ersetzt, damit es keine Verwirrung gibt mit der Definition von S in (iii).

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  • C

    Hm.. ok, also vielleich etwas anders formuliert: Wenn es Mengen gibt die sich selbst enthalten und es gleichzeitig Mengen gibt, die sich nicht selbst enthalten, gibt es mindestens eine Menge R, für die die Frage "Ist X ein Element von R?" nicht entscheidbar ist. (Siehe Beweis (iii).) Da diese Frage aber immer entscheidbar sein soll, dürfen beide Eigenschaften auf das System nicht zutreffen. Da ein System mit Mengen, die nur sich selbst enthalten, keinen Sinn bringen würde, darf es in dem System keine Mengen geben, die sich selbst enthalten. Daraus folgt dann auch, dass in dem System weder die Menge aller Mengen existieren kann, noch die Menge aller Mengen die 3 enthalten, noch die Menge aller unendlichen Mengen, ...

    Mein Denkfehler war wohl, "die Existenz" über einen Beweis als eigenes Paradoxon sehen zu wollen. (Was aber nicht geht -> in einem System in dem Mengen nur sich selbst enthalten können, gibt es genau eine Menge, die Menge aller Mengen.)

    Soweit richtig? Ich habe das Gefühl, der Sache langsam näher zu kommen..

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  • I

    Ich glaube du hast es verstanden.

    Was wir im Prinzip zeigen is folgendes:

    Menge aller Mengen ==> Eine Menge kann sich selber als Element enthalten ==> Es gibt aber mindestens eine Menge, die sich selber nicht als Element enthaelt ==> Nichtleere Menge S = { A | A nicht Element von A }. Die Frage S € S oder S nicht € S fuehrt zu einem Wiederspruch ==> Das Konzept, dass eine Menge sich selber als Element enthalten kann ist wiederspruechlich ==> Das Konzept einer Menge aller Mengen ist wiederspruechlich

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  • C

    Wobei sich dann die Frage stellt, warum man nicht einfach sagt, dass jede Menge sich selbst als Element enthält. Das Paradoxon kann man so doch nicht mehr aufstellen - und trotzdem behält man so hübsche Mengen wie die Menge aller Mengen?

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  • V

    cooky451 schrieb:

    Wobei sich dann die Frage stellt, warum man nicht einfach sagt, dass jede Menge sich selbst als Element enthält. Das Paradoxon kann man so doch nicht mehr aufstellen - und trotzdem behält man so hübsche Mengen wie die Menge aller Mengen?

    Aber man kann zum Beispiel nicht mehr die Menge der schlechten Vorschläge ausdrücken. Oder einfacher die Menge |N der natürlichen Zahlen. Denn |N soll nur die natürlichen Zahlen enthalten und keine Mengen. Sonst klappt vieles nicht.

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  • C

    volkard schrieb:

    Aber man kann zum Beispiel nicht mehr die Menge der schlechten Vorschläge ausdrücken.

    Ich denke gerade diese Menge wäre völlig unproblematisch. 😉

    volkard schrieb:

    Oder einfacher die Menge |N der natürlichen Zahlen. Denn |N soll nur die natürlichen Zahlen enthalten und keine Mengen. Sonst klappt vieles nicht.

    Hm.. ok, ich hätte nicht gedacht, dass N in N vieles kaputt macht. Wenn mir jetzt noch jemand sagt, was dadurch verletzt wird, geh ich auch brav wieder Vektoraddition üben. 🤡

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  • V

    Man will doch Aussagen über alle natürlichen Zahlen machen können!
    Für jedes x € |N gilt: (x+1)*(x+1)=x*x+2*x+1

    Also willst Du entweder haben: (|N+1)(|N+1)=|N|N+2*|N+1 //Quatsch

    Oder Du willst haben: Für jedes x € |N und x!=|N gilt: x!=(x+1)*(x+1)=x*x+2*x+1

    Dann wäre der Begriff x € A und x!=A SEHR praktisch. Wir würden ein neues Zeichen definieren:
    x æ A := x € A und x!=A
    und würden schreiben
    Für jedes x æ |N gilt: (x+1)*(x+1)=x*x+2*x+1

    Und dann würden wir nur noch mit æ arbeiten und hätten per Definition erreicht, daß A æ A nicht möglich ist.

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  • I

    cooky451 schrieb:

    Wenn mir jetzt noch jemand sagt, was dadurch verletzt wird, geh ich auch brav wieder Vektoraddition üben. 🤡

    Es ist extrem unpraktisch. Viele Sätze beginnen ja z.B. mit „für alle n element N gilt …“. Dass gilt für n=N dann natürlich nicht mehr. Die Menge der natürlichen Zahlen ist eben keine natürliche Zahl, man müsste also ständig Spezialfälle ausschließen. Dann gibt es noch viel grundlegendere Probleme. Die leere Menge etwa wäre ja offenbar überhaupt nicht mehr möglich, das Leermengenaxiom würde also nicht mehr gelten, womit man im Prinzip die gesamte Mengenlehre neu erfinden müsste. Andersrum gäbe es wohl nahezu keinen Gewinn, wenn jede Menge sich selbst als Element enthalten muss.

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