Produkt von Normalverteilungen

Eisflamme

Hi,

ich suche gerade das Produkt von Normalverteilungen. Bisher stieß ich auf: http://mathworld.wolfram.com/NormalProductDistribution.html

Da hat man dann z.B. für $x,y,z \sim \mathcal N$ das Produkt der drei. Kann man das denn irgendwie verallgemeinern für beliebig viele Variablen? Falls nein, geht das, falls die Standardabweichung (aber nicht µ) gleich sind?

Ist nicht unbedingt nötig, weil das ohnehin auf eine Simulation hinauslaufen wird. Aber würde mich Mal interessieren.

Beste Grüße

Eisflamme

Ok, neue Frage:

Was, wenn $\mu$ und $\sigma$ gleich sind? Erhält man aus dem Produkt dann etwas Brauchbares? Spezieller habe ich das Produkt aus pdfs, wobei PDF(X=x) für jeden Faktor des Produkts ein anderes x hat, X ist aber eben dieselbe normalverteilte Zufallsvariable.

C14

Eisflamme schrieb:

Spezieller habe ich das Produkt aus pdfs, wobei PDF(X=x) für jeden Faktor des Produkts ein anderes x hat, X ist aber eben dieselbe normalverteilte Zufallsvariable.

Ich dachte du willst die Verteilung eines Produkts von normalverteilten Zufallsvariablen? Dann gibt es nur ein x.

Jester

Kannst Du die Frage vielleicht nochmal neu formulieren, ggf. mit etwas mehr formalem Unterbau? Wie C14 schon gesagt hat klingt das grad merkwürdig und ich bin mir unsicher ob Du nun eine Verteilung von X*Y*Z suchst oder doch eher von X x Y x Z oder noch was ganz anderes?

otze

in jedem Fall ist das Produkt eine weitere normalverteilung.

C14

otze schrieb:

in jedem Fall ist das Produkt eine weitere normalverteilung.

Ne, eben nicht, siehe Eisflamme's link zu wolframalpha.

otze

C14 schrieb:

otze schrieb:

in jedem Fall ist das Produkt eine weitere normalverteilung.

Ne, eben nicht, siehe Eisflamme's link zu wolframalpha.

Ich hab nur die Übrschrift gelesen und war dannv erwirrt wie alle anderen hier. Das Produkt zweier Normalverteilungen ist eine Normalverteilung. Das Produkt der Zufallsvariablen nicht.

Jester

Ohne Klärung von Eisflamme kommen wir hier jedenfalls nicht weiter.

Das Quadrat einer Normalverteilten Zufallsvariable ist Chi-Quadrat-verteilt. Warum sollte dann ein Produkt normalverteilter Zufallsvariablen normalverteilt sein ???

knivil

Kann man das denn irgendwie verallgemeinern für beliebig viele Variablen?

Was spricht dagegen, es mit mehr Integralen zu umschliessen.

Eisflamme

knivil:
Das ist eine andere Notation, hilft mir aber nicht. Es geht darum, dass ich eine strukturelle Lösung erhalte, mit der man auch analytisch arbeiten kann. Außerdem kann es auch 10 solcher Variablen verknüpft geben.

C14:
x ist die Ausprägung, X ist die Zufallsvariable. Es kann doch PDF(X=1) * PDF(X=2) * PDF(X=3) sein, dann ist es trotzdem ein X, aber drei verschiedene x. Ich habe gehofft, dass man für diesen Fall irgendwie doch eine Verteilung kriegt, die normalverteilt ist, weil ja $\mu$ und $\sigma$ gleich sind... Aber wird nichts, oder?

otze:

Das Produkt zweier Normalverteilungen ist eine Normalverteilung. Das Produkt der Zufallsvariablen nicht.

Dann verstehe ich nicht, was ein "Produkt von Normalverteilungen" überhaupt sein soll!?

Jester

Kannst Du mal ein Beispiel für sowas machen? Was soll das für eine Zufallsvariable sein, die gleichzeitig mehrere Werte annimmt? Imo ergibt das keinen Sinn.

Eisflamme

Die nimmt nicht gleichzeitig mehrere Werte an, das können auch hintereinandergeschaltete Prozesse sein, die aber mit der gleichen Wahrscheinlichkeitsverteilung Ergebnisse produziert.

Nehmen wir beispielsweise irgendeinen Produktionsschritt, bei dem die Ausgabe für eine bestimmte Menge x eben mit P(X=x) angegeben wird. Möchten wir jetzt wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass in einem Schritt 2 und in einem anderen 3 Einheiten herauskommen, brauchen wir die Multiplikation von P(X=2) und P(X=3) (Mal 2 wg Permutation). Würdest Du dafür zwei Zufallsvariablen benennen? Finde ich irgendwie unnötig.

Michael E.

Eisflamme schrieb:

Möchten wir jetzt wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass in einem Schritt 2 und in einem anderen 3 Einheiten herauskommen, brauchen wir die Multiplikation von P(X=2) und P(X=3) (Mal 2 wg Permutation).

Hier multiplizierst du aber keine Zufallsvariablen! Vielleicht würde es dir helfen, p(x) statt der verwirrenden Schreibweise P(X=x) zu verwenden. Denn P(X=x) bedeutet eigentlich P(X^-1(x)). X ist eine Zufallsvariable, d.h. eine Funktion. Eine Funktion kann nicht "gleich" einer Zahl x sein.

Edit: Ach so, hier noch die Lösung, wenn ich dich richtig verstanden habe: http://de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimensionale_Normalverteilung

Eisflamme

Ja, da habe ich ein paar Dinge blöd aufgeschrieben, stimmt schon. Ich denke bei Zeiten nochmal drüber nach. Danke schon Mal

Jester

Eisflamme schrieb:

Würdest Du dafür zwei Zufallsvariablen benennen? Finde ich irgendwie unnötig.

Wenn es zwei verschiedene Zufallsexperimente sind würde ich sie auch durch verschiedene Zufallsvariablen modellieren. Das ist insofern nötig, als dass es sonst halt falsch wird, weil eine Variable halt nur ein Experiment beschreibt.

Mach das mal sauber, dann kriegste zur belohnung auch deine normalverteilung raus...

@Michael E.: das ist doch aber eine ganz normale Schreibweise, wie sie fast überall verwendet wird.

Michael E.

Jester: Ja, aber ich hatte das Gefühl, dass ihn die Schreibweise verwirrt hat.

Jester

Ich glaub eher, dass er sich mal klar machen muss was für eine ZV er betrachten will, danach gehts mit verteilung hinschreiben gleich viel leichter...

Abgesehen davon macht natürlich P(X=x) bei kontinuierlichen Verteilungen nur begrenzten Sinn, da hast du schon recht.

Eisflamme

Nagut, da war viel schwachsinnige Notation bei, sorry.

Also im Endeffekt ist es dann doch so:

$X\_1 * X\_2 = Y$

mit $X\_1 \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma), X\_2 \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$

Kann man $Y$ jetzt als was andres als chi-Quadrat-verteilte Variable ausdrücken? Am besten Normalverteilung?

Michael E.

Also jetzt doch wieder Zufallsvariablen multiplizieren? Das passt dann aber nicht mehr zu deinem Beispiel. Im Allgemeinen ist das Produkt zweier normalverteilter Zufallsvariablen nicht normalverteilt.