Wasserstoffatom feldfrei?

[Gregor]

Zusatz, um auch SeppJs Einwand, dass man trotz allem die elektrische Abstossung braucht, einfliessen zu lassen...

Die Analogie zum Kastenpotential ist mit Vorsicht zu geniessen. Man kann argumentieren, dass es eigentlich nicht nur schmaler wird, sondern auch tiefer, wenn man die beiden Atome naeher an einander heranfuehrt. Und dann ist es nicht mehr so klar, ob sich die Energieeigenwerte nach oben bewegen oder nicht. Man muss in den Hamiltonian zu diesem Potential zusaetzlich einfliessen lassen, dass sich die Elektronen gegenseitig abstossen.

Im Vielteilchenbild geht man in etwa von folgemdem Hamiltonian aus, wenn man eine Vielzahl von Elektronen und Atomkernen hat:
\hat{H} = \underbrace{-\sum\limits\_i^{N\_\text{elec}} \frac{1}{2} \nabla\_i^2 }\_{\hat{T}_\text{e}} \underbrace{-\sum\limits_\alpha^{N_\text{atom}} \frac{1}{2 m_\alpha} \nabla_\alpha^2}_{\hat{T}_\text{i}} \underbrace{+\frac{1}{2} \sum\limits_{\substack{i,j\\i\neq j}}^{N_\text{elec}} \frac{1}{\vert\vec{r}\_i - \vec{r}\_j\vert}}_{V_\text{ee}} \underbrace{+\frac{1}{2} \sum\limits_{\substack{\alpha,\beta \\ \alpha\neq \beta}}^{N_\text{atom}} \frac{Z_\alpha Z_\beta}{\vert\vec{\tau}_\alpha - \vec{\tau}_\beta\vert}}_{V_\text{ii}} \underbrace{-\sum\limits_{i}^{N_\text{elec}} \sum\limits_{\alpha}^{N_\text{atom}} \frac{Z_\alpha}{\vert\vec{r}\_i - \vec{\tau}\_\alpha\vert}}_{V_\text{ei}}
$V_\text{ee}$ ist hierbei die Coulomb-Abstossung der Elektronen untereinander. Wenn man von diesem Hamiltonian ausgeht und ins Einteilchenbild wechselt, dann braucht man eine Entsprechung fuer diesen Term. Das geht nicht so einfach, da man in der Formulierung ja nur noch ein einzelnes Elektron zur Verfuegung hat. ...aber es gibt da natuerlich schon Ansaetze. Zumindest ist in dem klassischen Hamiltonian, den man zur Loesung des Kastenpotentials verwendet nicht alles enthalten, was fuer die Physik in diesem Fall relevant ist. Man kriegt einen weiteren Term, der die Eigenenergien weiter nach oben drueckt.

[Bohr]

knivil schrieb:

Anderherum. Um Elemente naeher zu bringen, benoetigst du Energie, weil Teilchen auf ein hoeheres Energieniveau gehoben werden muessen, da sie nicht den gleichen "Aufenhaltsort" okkupieren koennen.

Das kann ich mir irgendwie nicht vorstellen. Will ich z.B. zwei Elektronen gleichen Spins näher bringen, kann ich den Spin mit entsprechend hoher kinetischer Energie von einem Elektron einfach flippen (also ohne irgendetwas getan zu haben, außer dem Elektron viel kinetische Energie zu geben)? Oder nehmen wir zwei Helium-Atome, wo 1s schon voll ist und die bestimmt nicht hybridisieren. Wenn auf eines fest drücke, geht es irgendwann in 2s (oder einen anderen Zustand?) über? Ich dachte aber, solche Übergänge sind vor allem optische Dipolübergänge, die wenn überhaupt, nur bei sehr bestimmten Energien möglich werden, und nicht bei beliebig hoher kinetischer Energie. Oder verstehe ich dich falsch?

knivil schrieb:

Nun, Protonen und Neutronen sind auch Fermionen.

Ja, aber die kann ich ja getrost ignorieren, wenn es erst mal nur um die Elektronen (in Orbitalen) geht bzw. die Abstoßung nur durch das Pauli-Prinzip begründet ist. Soweit, dass die Kerne sich nahe kommen (was ja wiederrum dann eine Frage des Wirkungsquerschnitts ist), will ich erst mal garnicht gehen.

SeppJ schrieb:

Man fällt aber nicht wegen des Pauliprinzips nicht durch den Boden.

Das dachte ich nun auch, da die Atome per se ja nicht feldfrei sind, wie ich in diesem Thread bestätigt bekommen habe (das Potential, welches ich im ersten Beitrag für 1s-H erwähnt habe, ist auch schön repulsiv (siehe [url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+1%2Fx*e^(1%2Fx)*(1%2Bx)+-+1%2Fx[/url] und ganz schnell flach, wenn man etwas vom Abstand 0 wegkommt), und die Terme, die dafür verantwortlich sind, kommen auch in allen möglichen anderen Zuständen außer 1s vor). Ich finde diese Erklärung so schön einsichtig.

SeppJ schrieb:

Damit das Pauliprinzip auf Elektronen wirkt, müssen diese ja erstmal überhaupt gemeinsame Zustände haben die sie dann nicht alle gleichzeitig einnehmen können.

Damit kommen wir ja auch gleich zu dem Punkt, den Gregor anspricht und ich versuche den mal für mich zu reproduzieren. Wenn wir nun zwei Wasserstoff-Atome aneinanderbringen (also die kinetische Energie ausreicht, um irgendwie aureichend genug diese Potentialbarriere hochzuklettern), müssen wir irgendwann, wann genau kann man wohl nicht sagen, das Coulomb-Potential vergessen und erst mal den Hamilton-Operator wechseln (auf Wasserstoff-Molekül) und die Wellenfunktionen neu berechnen.
Soweit ich die Hybridisierung nun verstanden habe, ergibt sich die antibindende Wellenfunktion in der LCAO-Näherung durch Subtraktion der Wellenfunktionen und hat einen größeren Energie-Eigenwert. So ein Zustand wird also nur angenommen, falls das Pauli-Prinzip den energetisch niedriger liegenden bindenden Zustand verbietet (weil schon Elektronen den besetzt haben).
Im Falle von Wasserstoff wird ja der bindende Zustand eingenommen, also haben wir eine neue Elektronenkonfiguration und das Coulomb-Potential, was vorhin noch zu überwinden war, um sich näher zu kommen, spielt keine Rolle mehr, da nun beide H-Elektronen eine neue Ladungsverteilung mit einem gemeinsamen, neuen Potential bilden.

Wenn jetzt aber z.B. zwei Helium-Atome so nahe kommen und der höher liegende antibindende Zustand (da der bindende Zustand im Molekülorbital schon besetzt ist und das Pauli-Prinzip keine Lösung mit noch mehr Elektronen im bindenden Zustand erlaubt) eingenommen werden müsste, kommt es nicht zum $He_2$-Molekül und das alte repulsive Coulomb-Potential bleibt erhalten und drückt die beiden Helium-Atome weiterhin auseinander. Oder wird der antibindende Zustand doch eingenommen und wir haben quasi eine $He_2$-Wellenfunktion, die einfach aus quasi zwei disjunkten Orbitalen besteht? Vielleicht passiert das bei genügend hoher Energie? Bzw. ist das das gleiche?
Meinte knivil vielleicht mit energetisch höher Anregen diese Anregung auf antibindende Zustände während der Hybridisierung, die nötig wären? Wenn diese Erläuterung irgendwie Sinn ergibt, dann verhält es sich summa sumarum also so:

1. Atome weit auseinander, quasi feldfrei (trotz Gesamtladung 0), Bewegung aufeinander zu quasi kostenlos.
2. Atome nahe aneinander, repulsives Coulomb-Potential muss mit mehr kinetischer Energie ausgeglichen werden.
3. Atome nahe genug, damit die zwei separablen 1-Elektron-Wellenfunktion-Lösungen nicht mehr genau genug sind --> Hybridisierung (bzw. dieses Maß an Energie ist noch nicht erreicht, wenn ich einfach nur auf dem Fußboden stehe. Aber wenn ich stark genug drauf gedrückt werde (und schon längst Matsch bin), muss auch dann (theoretisch) ein neuer Hamiltonoperator benutzt und neu gelöst werden. Diese Energie ist vielleicht sogar die chemische Aktivierungsenergie für Reaktionen?)
4. a) Molekül im bindenden Zustand, neue Wellenfunktion stiftet eine neue Ladungsverteilung im zeitlichen Mittel, in dem beide Elektronen enthalten sind.
oder
4. b) Molekül im antibindenden Zustand (durch Pauli-Verbot des schon besetzen, energetisch günstigeren bindenden Zustandes), die repulsive Coulomb-Potential bleibt erhalten.

In der Betrachtung wäre die omminöse "Kraft durch Pauli-Prinzip" die gleiche repulsive elektrostatische Kraft. Oder bin ich auf dem Holzweg?

[Bohr]

In der Betrachtung wären also die (zumindest mir konträr erscheinenden) Aussagen von SeppJ und knivil/Gregor beide korrekt.

[Bohr]

Bzw. das Argument "Abstoßung durch Pauli-Prinzip" greift erst bei sehr hohen Energien und nicht hybridisierenden Atomen.

[Gregor]

@Bohr: Was genau verstehst Du eigentlich unter "feldfrei"?

[Bohr]

$\vec E(\vec r) = 0$

[hustbaer]

Gregor schrieb:

Bohr schrieb:

Ich will wissen, warum ich nicht durch den Fußboden falle.

Eigentlich ist das eine aeusserst interessante Frage, die eine Menge her gibt. ...und bei der man bei einer Erklaerung vermutlich ungefaehr alles falsch macht. Ich habe mich deshalb bisher in diesem Thread eher zurueckgehalten.

Kann man sehr einfach mir der Gegenfrage "wieso meinst du du solltest?" abhandeln.
Bzw. man kann auch einfach sagen: es gibt Kräfte die dagegenwirken

Beide scheinen auf den ersten Blick äusserst "billige" Erwiederungen zu sein -- wenn man genauer darüber nachdenkt sind es aber beide mMn. nicht

[C14]

Bohr schrieb:

Das dachte ich nun auch, da die Atome per se ja nicht feldfrei sind, wie ich in diesem Thread bestätigt bekommen habe (das Potential, welches ich im ersten Beitrag für 1s-H erwähnt habe, ist auch schön repulsiv (siehe [url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+1%2Fx*e^(1%2Fx)*(1%2Bx)+-+1%2Fx[/url] und ganz schnell flach, wenn man etwas vom Abstand 0 wegkommt), und die Terme, die dafür verantwortlich sind, kommen auch in allen möglichen anderen Zuständen außer 1s vor). Ich finde diese Erklärung so schön einsichtig.

Kannst du das nochmal erklären? Wie hast du die Kraft auf das zweite H-Atom im Feld des ersten ausgerechnet und was kommt da raus?
(der wolfram alpha link funktioniert bei mir nicht richtig)

[Gregor]

C14 schrieb:

Kannst du das nochmal erklären? Wie hast du die Kraft auf das zweite H-Atom im Feld des ersten ausgerechnet und was kommt da raus?
(der wolfram alpha link funktioniert bei mir nicht richtig)

Wenn zwei ladungsneutrale Atome genuegend weit von einander entfernt sind, dann wirkt keine elektrostatische Kraft zwischen ihnen. Das kann man sich recht einfach dadurch erklaeren, dass der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberflaeche ausschliesslich von der eingeschlossenen Ladung abhaengt. Wenn man also eine Kugel um ein Atom legt und darin die Gesamtladung 0 ist, dann geht davon auch kein elektrisches Feld aus. Was man dann allerdings haben kann, sind Van der Waals Kraefte.

Wenn man die Kugel kleiner macht und schliesslich ein Teil der Wellenfunktion des Elektrons aus der Kugel hinausreicht, dann ist im Inneren nicht mehr die Gesamtladung 0 und entsprechend gibt es einen elektrischen Fluss durch die Kugeloberflaeche. Das heisst: "Innerhalb des Atoms" hat man ein elektrisches Feld, nach aussen hin verschwindet dieses aber.

Solange sich die Wellenfunktionen der Elektronen unterschiedlicher Atome nicht ueberlappen, sind Kraefte zwischen diesen Atomen auf Korrelationseffekte, wie zum Beispiel der Van der Waals Wechselwirkung zurueckzufuehren. Wenn es zu nennenswerten Ueberlappungen kommt, wird es komplizierter.

[knivil]

von einem Elektron einfach flippen

Elektronen muessen nur auf hoeheres Energieniveau gehoben werden, wenn alle anderen bereits besetzt sind. D.h. bei der Frage, warum wird nicht ineinander fallen, gehe ich davon aus, dass unser Koerper/Molekuele stabil sind, d.h. besetzte Energieniveaus komplett sind. Und deswegen macht deine Einzelteilchenbetrachtung des H-Atoms keinen Sinn, weil sie sich einfach zum H₂-Molekuel zusammentun.

[C14]

@Gregor:
Ok.
Die Frage zielte eher darauf, dass der TE in seiner Rechnung wenn er von "repulsivem Coulomb-Potential" spricht vermutlich einen Fehler hat,
weil sich imho bei dieser Näherung die Atome zunächst anziehen sollten.
Du hast natürlich Recht, die Näherung wird allgemein nicht viel taugen und man muss es wohl quantenmechanisch durchrechnen.

Die Frage ob wir ohne Pauli Prinzip durch den Boden fallen würden (vorausgesetzt wir und die Welt wären aus Wasserstoff )ist jetzt aber noch nicht klar beantwortet.
Ich tippe auf ja, aber gibt es einfache Argumente dafür ohne alles nochmal für unterscheidbare Elektronen durchzurechnen?

[Bohr]

C14 schrieb:

Kannst du das nochmal erklären? Wie hast du die Kraft auf das zweite H-Atom im Feld des ersten ausgerechnet und was kommt da raus?
(der wolfram alpha link funktioniert bei mir nicht richtig)

Ich habe keine Kraft berechnet, sondern nur das Potential. Der Ausdruck im allerersten Beitrag ist die Summe der Potentiale der Kernladung (der letzte Term, als Punktladung genähert) und der zeitlich gemittelten Ladungsverteilung des Elektrons im 1s-Zustand. Zusammen ergibt das eine Ladungsverteilung, welche nach außen hin ein elektrisches Feld hat (wie SeppJ schon sagte, ein Feld mit Dipol- und höheren Momenten).

Gregor schrieb:

Wenn zwei ladungsneutrale Atome genuegend weit von einander entfernt sind, dann wirkt keine elektrostatische Kraft zwischen ihnen. Das kann man sich recht einfach dadurch erklaeren, dass der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberflaeche ausschliesslich von der eingeschlossenen Ladung abhaengt.

Die Erklärung finde ich aber problematisch. Zwischen den Atomen wirkt, wie man an dem Potential grob sieht, prinzipiell immer eine Kraft, egal wie weit sie voneinander getrennt sind. Das Potential wird eben super-schnell flach (flacher Anstieg im Potential = sehr kleine Kraft) und geht gegen 0, wenn man etwas von r=0 wegkommt. Der elektrische Fluss hat hier erst mal keinen Einfluss.

Gregor schrieb:

Wenn man also eine Kugel um ein Atom legt und darin die Gesamtladung 0 ist, dann geht davon auch kein elektrisches Feld aus.

Das stimmt im Allgemeinen nicht. Vom Atom geht kein elektrischer Fluss aus, wohl aber ein Feld (Beweis: die Ableitung des Potentials aus Post 1 ist nirgends 0). Nach dieser Argumentation ginge von einem elektrischen Dipol ebenfalls kein Feld aus, da sein Fluss tatsächlich 0 ist. Aber aus

$\int\limits_{\partial V} \vec E(\vec r) d\vec a = 0$ folgt nicht notwendigerweise $\vec E(\vec r) = 0$ so wie aus $\int\limits_0^{2\pi} sin(x)dx = 0$ nicht $sin(x) = 0$ folgt.

Das Atom hat wegen Gesamtladung 0 kein Monopolmoment, wohl aber höhere Multipolmomente und auch ein äußeres elektrisches Feld.

Gregor schrieb:

Was man dann allerdings haben kann, sind Van der Waals Kraefte.

Die haben aber erst mal eine ganz andere Ursache (spontane Dipolbildung führt zur Polarisation anderer Atome) und wirken außerdem sogar attraktiv zwischen Atomen.

Gregor schrieb:

Wenn man die Kugel kleiner macht und schliesslich ein Teil der Wellenfunktion des Elektrons aus der Kugel hinausreicht, dann ist im Inneren nicht mehr die Gesamtladung 0 und entsprechend gibt es einen elektrischen Fluss durch die Kugeloberflaeche. Das heisst: "Innerhalb des Atoms" hat man ein elektrisches Feld, nach aussen hin verschwindet dieses aber.

Nein, das war doch der Punkt in dem Thread. Die Atomhülle schirmt den Kern nicht völlig ab, sodass es außerhalb des Atoms überhaupt kein Feld existiert. Es existiert ein Feld!

Gregor schrieb:

Solange sich die Wellenfunktionen der Elektronen unterschiedlicher Atome nicht ueberlappen, sind Kraefte zwischen diesen Atomen auf Korrelationseffekte, wie zum Beispiel der Van der Waals Wechselwirkung zurueckzufuehren. Wenn es zu nennenswerten Ueberlappungen kommt, wird es komplizierter.

Naja, es sei denn, die Atome kommen sich etwas in die Nähe, da herrscht elektrostatische Abstoßung (solange sich die Orbitale durch die Hybridisierung nicht völlig verändern).

[quote=knivil]D.h. bei der Frage, warum wird nicht ineinander fallen, gehe ich davon aus, dass unser Koerper/Molekuele stabil sind, d.h. besetzte Energieniveaus komplett sind.[/quote]
Die Welt besteht doch nicht nur aus Edelgaskonfigurationen?

knivil schrieb:

Und deswegen macht deine Einzelteilchenbetrachtung des H-Atoms keinen Sinn, weil sie sich einfach zum H₂-Molekuel zusammentun.

Natürlich tun sie das, hab ich doch auch geschrieben (liest wohl niemand ). Warum stoßen sich dann zwei Wasserstoff-Moleküle ab? Ich behaupte nach wie vor, die Abstoßung wird auch elektrostatisch sein. Das Pauli-Prinzip gibt einfach keine quantitative Aussage darüber, wie groß Kräfte sind, da das Pauli-Prinzip nicht die unmittelbare Ursache der Kraft ist, sondern vielmehr die Ursache, dass es nicht zur Hybridisierung kommt und das elektrostatische Feld des Atoms weiterhin ein anderes wegstößt.

[Bohr]

C14 schrieb:

@Gregor:
Ok.
Die Frage zielte eher darauf, dass der TE in seiner Rechnung wenn er von "repulsivem Coulomb-Potential" spricht vermutlich einen Fehler hat,
weil sich imho bei dieser Näherung die Atome zunächst anziehen sollten.
Du hast natürlich Recht, die Näherung wird allgemein nicht viel taugen und man muss es wohl quantenmechanisch durchrechnen.

Das ist schon quantenmechanisch gerechnet (wenn auch nicht quantenfeldtheoretisch, das kann ich (noch) nicht). Ich kann die Rechnung gerne in Latex begründen, wenn du willst. Wieso sollten die Atome sich anziehen?

C14 schrieb:

Die Frage ob wir ohne Pauli Prinzip durch den Boden fallen würden (vorausgesetzt wir und die Welt wären aus Wasserstoff )ist jetzt aber noch nicht klar beantwortet.

Meine Antwort auf die Frage: ja, aber die direkte Ursache ist nach wie vor elektrostatische Abstoßung.[/quote]

[Gregor]

Bohr schrieb:

Das Atom hat wegen Gesamtladung 0 kein Monopolmoment, wohl aber höhere Multipolmomente und auch ein äußeres elektrisches Feld.

Die Formel, die Du im ersten Posting gebracht hast, bietet keine Freiheitsgrade fuer ein Moment hoeherer Ordnung, da sie nur vom Betrag des Radius, nicht aber von der Richtung abhaengt.

Wenn momente hoeherer Ordnung relevant sind, dann muss ich die Aussage tatsaechlich zuruecknehmen. Ich sehe das hier jenseits von VdW-Wechselwirkungen aber nicht.

[Bohr]

Okay, hier man eine Begründung, woher das Potential (in klassischer Feldtheorie) kommt:

Angenommen, das mittlere Potential des Elektrons im 1s-Zustand sei
$\phi(\vec r) = \dfrac{e}{4\pi\epsilon\_0|\vec r|}\mathbb{e}^{-\dfrac{2|\vec r|}{a\_0}}\left(1+\dfrac{|\vec r|}{a_0}\right)$

Wir kennen die Poisson-Gleichung:
$\Delta \phi(\vec r) = -\dfrac{\rho(\vec r)}{\epsilon_0}$

Radialsymmetrisches Problem, da nur abhängig vom Betrag des Vektors, also Laplace-Operator in Kugelkoordinaten (mit $\alpha = \frac{2}{a_0}$):
$\Delta \phi(\vec r) = \Delta \phi(r) = \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}(r\phi(r)) = \dfrac{e}{4\pi\epsilon\_0r}\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}(\mathbb{e}^{-\alpha r}(1+\dfrac{\alpha r}{2})) = \dfrac{e}{4\pi\epsilon\_0r}\mathbb{e}^{-\alpha r}(\alpha^2 - \dfrac{\alpha^2}{2} + \alpha^3 \dfrac{r}{2} - \dfrac{\alpha^2}{2}) = \dfrac{e}{4\pi\epsilon\_0}\dfrac{\alpha^3}{2}\mathbb{e}^{-\alpha r} = \dfrac{e}{4\pi\epsilon\_0}\dfrac{8}{2a\_0^3}\mathbb{e}^{-\alpha r} = \dfrac{e}{\pi\epsilon\_0 a_0^3}\mathbb{e}^{-\alpha r}$

Also folgt aus der Poisson-Gleichung:
$\rho(\vec r) = - \dfrac{e}{\pi a\_0^3}\mathbb{e}^{-\alpha r} = - \dfrac{e}{\pi a\_0^3}\mathbb{e}^{-\dfrac{2r}{a_0}}$

Wellenfunktion des Elektrons im 1s-Zustand:
$\langle \psi \mid x \rangle = \sqrt{\dfrac{1}{a\_0^3\pi}}\mathbb{e}^{-\dfrac{r}{a\_0}}$
Mittlere Ladungsdichte ist dann:
$-e|\langle \psi \mid x \rangle|^2 = - \dfrac{e}{\pi a\_0^3}\mathbb{e}^{-\dfrac{2r}{a\_0}}$
Übereinstimmung der Ladungsverteilungen. Das Potential ist also richtig.

[knivil]

Die Welt besteht doch nicht nur aus Edelgaskonfigurationen?

Ich sehe nicht, warum zwei Stueck kalter Plastik auf meinem Tisch nach aussen ungepaarte Elektronen haben sollte.

Warum stoßen sich dann zwei Wasserstoff-Moleküle ab?

Bei welcher Entfernung? Sind sie 2 Meter voneinander entfernt? Noch nie gesehen.

Ich sehe schon, wir reden aneinander vorbei. Wahrscheinlich, weil du wahllos zwischen Molekuelen und Atomen hin- und herspringst, mal das H-Atom, dann Molekuele, dann He, dann ... . Am besten du beschreibst eine konkrete Ausganssituation und beschraenkst dich auf diese. Ansonsten wuerde ich http://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_exclusion_principle#Stability_of_matter als ersten Anlaufpunkt waehlen und die Papers bearbeiten. Es wird auf http://en.wikipedia.org/wiki/Exchange_interaction

The consequence of the Pauli principle here is that electrons of the same spin are kept apart by a repulsive exchange interaction, which is a short-range effect, acting simultaneously with the long-range electrostatic or coulombic force.

Abstoßung wird auch elektrostatisch sein

Das bestreitet wohl niemand, ist aber nicht ausreichend. Aus den Abstrakts zu einem der Papers ist zu entnehmen, dass das Pauliprinzip hinreichend ist, also Elektrostatik nicht zwingend erforderlich ist, damit wir nicht zum Erdmittelpunkt sinken (meine Interpretation des Abstrakts). Weiter heisst es bei Wikipedia:

A more rigorous proof was provided in 1967 by Freeman Dyson and Andrew Lenard, who considered the balance of attractive (electron–nuclear) and repulsive (electron–electron and nuclear–nuclear) forces and showed that ordinary matter would collapse and occupy a much smaller volume without the Pauli principle

[C14]

Bohr schrieb:

Das ist schon quantenmechanisch gerechnet (wenn auch nicht quantenfeldtheoretisch, das kann ich (noch) nicht). Ich kann die Rechnung gerne in Latex begründen, wenn du willst. Wieso sollten die Atome sich anziehen?

Ich meinte nicht die Herleitung des Potentials sondern die daraus gefolgerte Abstoßung der H-Atome. Ich sehe an dem Potential nichts repulsives.
(Eingabe bei wolfram alpha: "1/x*(e^(-2*x)*(1+x) - 1) from 0 to 10")
Im Gegenteil, für Elektronen ist es attraktiv.

Die Atome ziehen sich deshalb zunächst an, weil die Elektronenladungsverteilung des zweiten Atoms in den Bereich niedrigeren Potentials reinreicht, während der Kern des zweiten Atoms noch weiter entfernt ist.

Genauer müsstest du eben die Ladungsverteilung des zweiten Atoms mal Potential integrieren und nach dem Abstand ableiten um die Kraft zu bekommen.

Aber da diese Näherung vermutlich eh nichts mehr taugt wenn sich die Orbitale stärker überlappen lohnt der Aufwand wahrscheinlich nicht.
Mit nicht quantenmechanisch meinte ich, dass du die eigentliche QM Wechselwirkung (gemeinsamer Hamiltonian...) vernachlässigst und nur mit den statischen Potentialen argumentierst.

[Bohr]

C14 schrieb:

Ich meinte nicht die Herleitung des Potentials sondern die daraus gefolgerte Abstoßung der H-Atome. Ich sehe an dem Potential nichts repulsives.

Das Potential ist nicht richtig, aber aufgefallen ist es wohl auch niemandem. Die Vorzeichen sind genau falsch herum. Wenn man positivem Kernpotential sein + und negativer Hülle sein - gibt, dann schaut's so aus:

WA: 1/x - (e^(-x)*(1+x))/x from 0 to 10

Das ist durchaus repulsiv (mit einer beschränkten Coulomb-Barriere).

C14 schrieb:

Die Atome ziehen sich deshalb zunächst an, weil die Elektronenladungsverteilung des zweiten Atoms in den Bereich niedrigeren Potentials reinreicht, während der Kern des zweiten Atoms noch weiter entfernt ist.

Ich verstehe nicht genau, was du damit meinst.

C14 schrieb:

Aber da diese Näherung vermutlich eh nichts mehr taugt wenn sich die Orbitale stärker überlappen lohnt der Aufwand wahrscheinlich nicht.

Mit Sicherheit nicht, dass man dann zu einem anderen Hamilton-Operator greifen muss, war ja schon klar. Ich wundere mich eben nur, dass es da ein elektrisches Potential gibt, das nachweislich kein Monopolmoment oder höhere Multipolmomente, aber trotzdem ein nach außen nicht verschwindendes E-Feld hat.

knivil schrieb:

Bei welcher Entfernung?

Natürlich wenn sie sich ganz nahe sind.

knivil schrieb:

Wahrscheinlich, weil du wahllos zwischen Molekuelen und Atomen hin- und herspringst, mal das H-Atom, dann Molekuele, dann He, dann ... .

Naja nicht wirklich wahllos, aber scheinbar nicht für jeden nachvollziehbar, daher etwas ausführlicher meinen bisherigen Gedankengang:

Ich will prinzipiell diese atomare Abstoßung begreifen, da dachte ich erst einmal, Wasserstoff ist am einfachsten (da mir das Pauli-Prinzip als Holzhammer-Begründung nicht reicht bzw. mir der tiefere Sinn entgangen ist). Da kommt dann dieses Potential, aus dem ich immernoch nicht wirklich schlau werde. (Ein Potential ohne irgendein Multipolmoment?) Wasserstoff ist aber auch nicht wirklich geeignet, denn das hybridisiert ja, wenn zwei Atome sich zu überlappen beginnen. Deshalb Helium, wo das sicher nicht passiert. Oder zwei Wasserstoff-Moleküle.

knivil schrieb:

Ansonsten wuerde ich ... als ersten Anlaufpunkt waehlen und die Papers bearbeiten. Es wird auf http://en.wikipedia.org/wiki/Exchange_interaction [...]

Austauschwechselwirkung, die ist mir bisher völlig entgangen! Und das wird wohl auch die ausführliche Ursache für mein Problem "Wieso falle ich nicht durch den Fußboden" beinhalten (und sogar noch viele andere wie Spin-WW im Ising-Modell, die ich mir bisher nicht erklären konnte). Danke für den Tipp, den hat mir bisher noch niemand gegeben.

Der für mein Problem interessanteste Teil war ja:

The consequence of the Pauli principle here is that electrons of the same spin are kept apart by a repulsive exchange interaction, which is a short-range effect, acting simultaneously with the long-range electrostatic or coulombic force. This effect is partly responsible for the everyday observation in the macroscopic world that two solid objects cannot be in the same place at the same time.

Nachtrag: die Lösung meines Potential-Dilemmas liegt vermutlich ganz einfach in der Tatsache, dass die Ladungsverteilung der Elektronenhülle nicht abgeschlossen ist. Völlig egal, welche Gauß-Kugel man um den Kern legt, sie schließt nicht die Gesamtladung ein, da die 1s-Ladungsverteilung, sprich die Atomhülle den ganzen Raum ausfüllt. Also hat dieses Potential folgerichtig für jedes Volumen ein nicht verschwindenes Monopolmoment, was je nach Gauß-Volumen immer kleiner wird.

[C14]

Bohr schrieb:

C14 schrieb:

Ich meinte nicht die Herleitung des Potentials sondern die daraus gefolgerte Abstoßung der H-Atome. Ich sehe an dem Potential nichts repulsives.

Das Potential ist nicht richtig, aber aufgefallen ist es wohl auch niemandem. Die Vorzeichen sind genau falsch herum. Wenn man positivem Kernpotential sein + und negativer Hülle sein - gibt, dann schaut's so aus:

WA: 1/x - (e^(-x)*(1+x))/x from 0 to 10

Das ist durchaus repulsiv (mit einer beschränkten Coulomb-Barriere).

Ja, ich habe das schon mit dem richtigen Vorzeichen betrachtet.
Beachte dass negativ geladene Teilchen das Potential hinauf statt herab laufen -> Anziehung für Elektronen

(ausserdem hast du bei deiner WA-Formel die 2 im Exponenten vergessen -> das richtige Potential hat das Maximum bei 0)

[Bohr]

C14 schrieb:

(ausserdem hast du bei deiner WA-Formel die 2 im Exponenten vergessen -> das richtige Potential hat das Maximum bei 0)

Das ist doch völlig egal wo das Maximum liegt, im Nahfeld greift dieses genäherte Näherung sowieso nicht mehr. Für große x ist ein Faktor 2 irrelevant.

C14 schrieb:

Beachte dass negativ geladene Teilchen das Potential hinauf statt herab laufen -> Anziehung für Elektronen

Was für negative Teilchen? Beim Wasserstoff ging es darum, dass zwei Wasserstoff-Atome wechselwirken und nicht ein Wasserstoffatom und ein Elektron. Das Potential ist positiv; wenn du einen zweiten Körper mit genau dem gleichen Potential hinsetzt, werden die sich abstoßen, die effektive Ladung beider Wasserstoffatome ist im zeitlichen Mittel positiv, ein Monopolmoment größer 0. Das Potential taugt aber nun mal nichts, irgendwie die Realität zu beschreiben. Wenn es ein leeres Universum nur gefüllt mit wenigen Wasserstoffatomen gäbe, dann würde eine elektrostatische Abstoßung zwischen ihnen im Fernfeld existieren, solange sie sich nicht zu nahe kommen und sofort hybridisieren. Realitätsbezug fehlt an der Stelle. Ich fand es einfach nur verblüffend, dass ein pures Wasserstoffatom im Fernfeld wie eine positive (aber sehr sehr kleine) Monopol-Ladung wirkt, was ja irgendwie konträr zur Aussage stand, ein Wasserstoffatom sei neutral. Das ist es auch, aber im zeitlichen Mittel nur über das ganze Universum integriert.