Analysis Aufgaben

Bitte ein Bit

Ich glaube ich habe die Lösung für die zweite Aufgabe. Von der Aufgabenstellung her würde ich auf eine (alternierende) harmonische Reihe tippen. Aber die Potenzierung mit k führt zu 1/n^k Reihentermen, welche immer konvergieren. Hier gibt uns die Aufgabe einen Tipp. Die Menge S muss nicht unendlich groß sein. Ist sie endlich, können wir ein kmax definieren. Nun definieren ich:

x(n) = (-1)^n / n^(1/kmax)

x(n)^k = (-1)^(k×n) / n^(k/kmax)

Ist k ungerade ergibt sich folgende Reihe: x(n)^k = (-1)^n / n^(k/kmax). Diese konvergiert gemäß Leipnitz Kriterium.

Ist k gerade ergibt sich die Reihe: x(n)^k = 1 / n^(k/kmax). Da k/kmax zwischen 0 und 1 liegt, können wir das Integralkriterium anwenden um die Divergenz zu zeigen.

Columbo

An welchem Punkt machst du eine Unterscheidung zwischen Elementen von $S$ und beliebigen ungeraden Zahlen?

Bitte ein Bit

Ich definiere S als eine endliche Teilmenge der Menge der ungeraden Zahlen. k und kmax sind Elemente von S.

Columbo

Ja, aber was passiert, wenn wir eine ungerade Zahl haben, die kleiner ist als kmax aber nicht in $S$ ?

Bitte ein Bit

Hast Recht.

Und wenn man S als Menge aller ungeraden Zahlen in der Zn Menge definiert? Dann wäre nur ungeraden Zahlen von 0 und n-1 erlaubt. Die Komplementmenge wäre die Menge aller geaden Zahlen von 0 bis n-1.

nachtfeuer

Arcoth schrieb:

Hat jemand ein paar Tipps?

naja,
Aufgabe korrekt(er) abschreiben, mit (einfach(st)en) Teilmengen herumprobieren oder Zahlenformate ändern hilft auf jeden Fall.

Columbo

nachtfeuer schrieb:

Aufgabe korrekt(er) abschreiben

Wenn du einen Fehler siehst, dann zeig ihn mir doch bitte auf.

nachtfeuer

Arcoth schrieb:

$\sum^\infty (q_{n+1} - q_n)^2$

In der Aufgabe steht:

$\sum(q\_n - q\_{n+1})^2$

Das ist nicht genau das gleiche, z.B.

Prelude Data.Ratio> 1/3 - 1/2
-0.16666666666666669
Prelude Data.Ratio> 1/2 - 1/3
0.16666666666666669.

Columbo

Ich lach mich tot.

volkard

nachtfeuer schrieb:

Arcoth schrieb:

$\sum^\infty (q_{n+1} - q_n)^2$

In der Aufgabe steht:

$\sum(q\_n - q\_{n+1})^2$

Das ist nicht genau das gleiche, z.B.
Prelude Data.Ratio> 1/3 - 1/2
-0.16666666666666669
Prelude Data.Ratio> 1/2 - 1/3
0.16666666666666669.

Würde sich diese Tatsache ändern, wenn Du die Differenz auch quadrieren würdest?

Arcoth: Wie sieht denn eine Reihe aus, die nur für S = {1} konvergiert?

C14

zu Aufgabe 1:
Mit $q_{n+1} = q_{n} \pm 1/n$ hat man schonmal Folgen, die das Kriterium erfüllen und mit denen man unendlich weit auf dem Zahlenstrahl kommen kann.
Jetzt kann man sich noch überlegen, dass man zwischen $q_{n}$ und $q_{n+1}$ eine beliebige monotone Sequenz $a^{(n)}_{i}$ mit $q\_n < a^{(n)}\_1 < ... < a^{(n)}\_k < q\_{n+1}$ einsetzen kann, ohne die Summe der quadrierten Differenzen zu vergrößern.
Dann gleichzeitig die $q_n$ so wählen, dass immer größere Bereiche grob überdeckt werden und immer feinere $a^{(n)}_i$ dazwischenschieben / anheften.

Columbo

@C14 Genau das habe ich mir auch schon überlegt, es aber aus unerfindlichen Gründen abgetan (Duplikate etc.). Werde ich mal formalisieren.