4. Was ist eine Falte?

Was ist eine Falte?


  • Ich beschäftige mich gerade mit dem Buch "Fraktale: Theorie und Praxis der deterministischen Geometrie".

    Dies beginnt mit der Definition von metrischen Räumen, äquivalente Metriken, Homomorphismen,...

    Im weiteren Kapitel tauchen dann Transformationen auf. Viele Fraktale basieren auf einfachen Transformationen drehen, falten, kopieren, skalieren,...

    Und auf einmal taucht der Begriff Falte auf, ohne dass eine Definition erfolgte, sondern nur ein paar Bilder dazu gezeigt wurden. Dazu wurde die Aufgabe gestellt zu zeigen, dass jede Falte auch ein Extremwert darstellt.

    Nach einer Recherche bin ich zur folgenden Kenntnis gekommen:

    Eine Falte ist in Extremwert, welcher kein Sattelpunkt ist und die dazugehörige Funktion dementsprechend nicht injektiv ist. Folgendes Beispiel:

    f(x, y) = ((x-1)^2 + 1, y)

    Für f(2, y) erhalte ich (2, y) und für f(0, y) erhalte ich ebenfalls (2, y). Das bedeutet beide Punkte werden auf den gleichen Punkt transformiert.

    Wenn nun z.B. x, y Pixel-Koordinaten darstellen und man ein Schwarz-Weiß Bild transformiert, in dem man alle schwarzen Pixel mittels der obigen Funktion transformiert, so wird die Faltung sichtbar.

    Stimmt dies so?

    BTW: Die KI hat mich hier etwas verwirrt, in dem sie meinte "dass f(x)=x^4 hätte bei x=0 ein Extremum aber keine Falte, weil die Funktion lokal injektiv bleibt (Ableitung verschwindet höherer Ordnung)". Und das kann ich so nicht nachvollziehen, da das obige Argument erhalten bleibt. Stünde hier f(x)=x^3, wäre dies was anderes.

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  • A

    Also, die KI sagt mir:

    Geometrisches "Aneinanderfalten" (Anordnung): Wenn Sie eine Linie nehmen, sie in der Mitte knicken und diesen Prozess unendlich oft wiederholen, erhalten Sie die berühmte Drachenkurve (Dragon Curve). Im Englischen spricht man hier oft von Paperfolding Fractals. Diese "Faltung" ist im Grunde eine Kombination aus Translationen und Rotationen der gestauchten Segmente.

    Mathematische Faltung (Faltungsintegral): In der fortgeschrittenen fraktalen Geometrie (Maßtheorie) kann man die Struktur eines Fraktals durch die mathematische Faltung (Convolution) zweier Wahrscheinlichkeitsmaße beschreiben. Das Ergebnis einer solchen Faltung ist oft wieder ein fraktales Maß (z. B. Cantor-Verteilungen).

    Was meiner Meinung nach auch Sinn machen würde, auch wenn ich den Begriff "Drachenkurve" noch nicht gehört habe.

    Die Drachenkurve (genauer: die Heighway-Drachenkurve) ist eines der bekanntesten deterministischen Fraktale. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass sie sich trotz ihrer hochkomplexen, fraktalen Form niemals selbst überschneidet und eine Fläche lückenlos ausfüllen kann (Kachelung).

    Sie kann auf drei verschiedene Arten definiert werden: geometrisch, als Iteriertes Funktionensystem (IFS) oder über ein L-System.

    1. Geometrische Definition (Das Papierfalt-Verfahren), 2. Definition als Iteriertes Funktionensystem (IFS), 3. Definition als Lindenmayer-System (L-System)

    Ich glaube, du meinst das IFS:

    In der deterministischen Geometrie wird die Drachenkurve in der komplexen Zahlenebene (\mathbb{C}) (oder als 2D-Vektoren) durch zwei kontrahierende (stauchende) Abbildungen definiert. Jede Iteration staucht das vorherige Objekt um den Faktor (\frac{1}{\sqrt{2}}) (ca. 0,707), dreht es und fügt die Teile neu zusammen:

    (f_{1}(z)=\frac{(1+i)z}{2})

    (f_{2}(z)=1-\frac{(1-i)z}{2})

    f₁ staucht das Objekt, dreht es um 45 Grad nach links und skaliert es. f₂ staucht das Objekt ebenfalls, dreht es um 135 Grad, spiegelt es und verschiebt (translatiert) es um 1 nach rechts.

    (Ich weiß nicht, wie hier Formeln funktionieren).

    -1
  • A

    Aber, um auch auf die Frage einzugehen: Nein, die Funktion wäre nicht injektiv.

    Das ist auch logisch, denn wenn wir das Falten eines Papiers als eine Funktion abbilden, die jedem Punkt auf dem ungefalteten Papier (Definitionsbereich) seine neue Position im dreidimensionalen Raum (Zielbereich) zuordnet, ist die Injektivität verletzt. Nach dem Falten liegen mindestens zwei unterschiedliche Punkte des Papiers flach aufeinander. Sie besitzen im Raum dieselben Ortskoordinaten, obwohl sie ursprünglich verschiedene Punkte waren. Da somit zwei verschiedenen Elementen der Definitionsmenge derselbe Wert in der Zielmenge zugeordnet wird, liegt keine Injektivität vor.

    0 1 Antwort

  • @Anon-81275 sagte in Was ist eine Falte?:

    nicht injektiv

    Hmm, ich glaube das ist das einzige Kriterium für die Existenz einer Falte.

    Ein Beispiel:

    f(x, y) = (|x-1| + 1, y)

    Also braucht man nicht unbedingt Extrema.

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    F
     1 Antwort
  • *

    @Quiche-Lorraine sagte in Was ist eine Falte?:

    Wenn nun z.B. x, y Pixel-Koordinaten darstellen und man ein Schwarz-Weiß Bild transformiert, in dem man alle schwarzen Pixel mittels der obigen Funktion transformiert, so wird die Faltung sichtbar.

    Das Wort „Faltung“ hat in der Mathematik eine eigene wohldefinierte Bedeutung. Aber ich kenne das Wort „Falte“ hingegen aus der Mathematik nicht. Mag sein, dass da mein Wissen unvollständig ist, aber mir fehlt hier einfach Kontext, um eine sinnvolle Antwort geben zu können.

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  • F

    @Quiche-Lorraine sagte in Was ist eine Falte?:

    @Anon-81275 sagte in Was ist eine Falte?:

    nicht injektiv

    Hmm, ich glaube das ist das einzige Kriterium für die Existenz einer Falte.

    Ich dachte auch zuerst wie @john-0 dass eventuell eine Konvolution gemeint ist, aber ich denke es handelt sich wahrscheinlich eher um einen Begriff aus der Differentialgeometrie. Ein "Knick" in einer Funktion, wie z.B. einer Fläche, wenn man sie wie ein Stück Papier faltet und wieder glatt streicht. Da bleibt dann eine Knicklinie zurück, und ich vermute, das könnte damit gemeint sein.

    Im Englischen haben ich den Begriff "crease" jedenfalls schon in dem Kontext gehört. Die Begriffsseite für Crease in der englischen Wikipedia erwähnt das jedenfalls:

    A line (geometry) or mark made by folding or doubling any pliable substance

    leitet dann aber lediglich auf die Seite für eine mathematische Gerade weiter, die nicht näher darauf eingeht. Intuitiv würde ich also vermuten, dass eine "Falte" ein N−1N-1-dimensionaler Bereich eines NN -Dimensionalen, durch eine Funktion beschriebenen Objekts ist, in dem die Funktion einen solchen "Knick" hat.

    Dieses Beispiel hier für die Betragsfunktion wäre dann z.B. ein solcher Knick, daher würde ich tippen, dass sich eine solche "Falte" dadurch definiert, dass ihre Ableitung nicht stetig ist. Oder allgemeiner, dass der Gradient der Funktion an der "Falte" nicht stetig ist, was dann auch Kurven und Flächen im Raum abdeckt.

    Ich bin mir allerdings nicht sicher, dass das wirklich ausreicht um zu zeigen, dass diese "Falte" ein Extremwert ist, wenn ich z.B. diese Funktion betrachte:

    f(x)={xwenn x<02xwenn x>=0f(x) = \begin{cases} x &\text{wenn } x < 0 \\ 2x &\text{wenn } x >= 0 \end{cases}

    Dann hat die auch einen solchen "Knick" (die Ableitung ist nicht stetig und springt von 11 auf 22) aber es handelt sich nach meinem Verständnis an der Stelle 00 nicht um einen Extremwert. Da gehört also wahrscheinlich noch etwas mehr zur Definition einer "Falte" dazu.

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    A
     2 Antworten
  • A

    @Finnegan Danke für diese Erklärung, Fin. Dadurch habe auch ich endlich mal eine räumliche Vorstellung einer Falte verstanden...

    Edit: Die KI nennt jetzt auch die Origami-Mathematik und die Huzita-Hatori-Axiome (nene, ich will euch nicht veräppeln 😃 ):

    https://share.google/aimode/qzCqwXEVal4LgIuz1

    Die Gemeinsamkeit ist wohl, dass die Funktion zwar stetig (keine Unterbrechungen), aber nicht differenzierbar (hat einen Knick/Sprung) ist...

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  • @Finnegan sagte in Was ist eine Falte?:

    Ich dachte auch zuerst wie @john-0 dass eventuell eine Konvolution gemeint ist, aber ich denke es handelt sich wahrscheinlich eher um einen Begriff aus der Differentialgeometrie. Ein "Knick" in einer Funktion, wie z.B. einer Fläche, wenn man sie wie ein Stück Papier faltet und wieder glatt streicht. Da bleibt dann eine Knicklinie zurück, und ich vermute, das könnte damit gemeint sein.
    Im Englischen haben ich den Begriff "crease" jedenfalls schon in dem Kontext gehört.

    Mir ist eingefallen dass der Begriff aus der Bäcker-Transformation stammen könnte.

    https://de.wikipedia.org/wiki/Bäcker-Transformation
    https://en.wikipedia.org/wiki/Baker's_map

    Dieses Beispiel hier für die Betragsfunktion wäre dann z.B. ein solcher Knick, daher würde ich Tippen, dass sich eine solche "Falte" dadurch definiert, dass ihre Ableitung nicht stetig ist

    Das Beispiel aus dem Buch ist: f(x, y) = (a * x * (x - b), y) und die Ableitung ist hier stetig, obwohl sie eine Falte hat.

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