Betrag eines Vektors



  • Beispiel:

    Stell dir einen Planeten mit sehr großer Schwerkraft vor. Die Bewohner dort
    sind aufgrund der Schwerkraft zu allem Überfluss auch noch sehr platt.
    Wenn sie Abstände messen, dann werden sie die z-Koordinate (wenn sie denn
    nach oben weist) sehr viel schwerer Gewichten als die in x und y Richtung.

    Mit V = |R^3 wäre dann vielleicht so eine Norm denkbar:

    ||a|| = |a_x| + |a_y| + 5 * |a_z|

    In der Technik wird sowas häufig benutzt, um irgendwelche Systeme besser zu
    beschreiben.



  • Aber ist es denn falsch, wenn ich jetzt nur einfache Betragsstriche mache?



  • Also an Hochschulen ist es wohl üblich Normstriche zu machen. Ich habe bisher in keinem meiner Scripte die einfachen Betragsstriche gesehen wenn die 2-Norm gemeint war. Wirklich falsch wird es nicht sein, und ich denke, dass jeder HiWi das beim korrigieren akzeptieren sollte.

    Btw: Welche Normen ausser der 1, 2, und oo-Norm gibt es eigentlich sonst noch?



  • Naja, wenn ihr für x Vektor |x| nicht definiert habt, dann kannst Du's halt nicht verwenden.
    Man unterscheidet da halt zwischen verschiedenen Konzepten. Einmal Betrag einer Zahl in einem Körper und einmal Normen in Vektorräumen eben. In der Schule wirft man das halt ein bißchen mehr durcheinander. Gewöhn Dich einfach dran und die Sache ist gegessen.
    Ich denke, die Unterscheidung wird vor allem dann wichtig, wenn man Körper mit Betrag hat, die gleichzeitig Vektorräume sind. Dann sind die beiden Begriff nämlich möglicherweise ziemlich unterschiedlich. Aber damit kommt man normalerweise nicht in Berührung.

    Die 2 kommt daher, daß man für jede ganze Zahl d>=1 eine eigene Norm definieren kann. Nämlich jede Komponente mit d potenzieren, das ganze aufaddieren und die d-te Wurzel ziehen.
    Für d=2 ergibt sich genau die euklidische Norm. Für d=1 ergibt sich die sogenannte Manhattannorm, die entspricht nämlich genau der Distanz die Du von laufen müßtest, wenn Du Dich nur waagrecht oder senkrecht bewegst.

    MfG Jester



  • MaSTaH schrieb:

    Btw: Welche Normen ausser der 1, 2, und oo-Norm gibt es eigentlich sonst noch?

    Es ist weiterhin üblich, in Vektorräumen mit definierten Skalarprodukt

    ||a|| = sqrt( <a,a> )

    als induzierte Norm (Begriff richtig?) zu betrachten.
    Für das gewöhnliche Skalarprodukt kommst du damit wieder auf die 2-Norm.



  • Ich fands auch immer praktisch, einfach den Vektorpfeil wegzulassen, wenn ich den Betrag meine... ist jetzt wohl auch Schluss mit, oder?



  • Symboliken sind Schall und Rauch. Studierst du nicht E-Technik? Dann wirst du schon aus praktischen Erwägungen heraus nicht jedesmal || ||_2 schreiben wollen.



  • @Loggy:

    Ich kann Dir da nur empfehlen, Dich an das zu halten, was in der Vorlesung gemacht wird. Damit bist Du in jedem Fall auf der sicheren Seite. Später kannst Du da durchaus Deinen eigenen Stil entwickeln, aber am Anfang sollte man da nicht zu vorlaut sein.
    Bei uns hatten Vektoren zum Beispiel keine Pfeile, man mußte halt immer wissen, was man da vor sich hat. Was soll ich sagen? Man gewöhnt sich dran...



  • @Loggy: Schreib einfach oben drüber: :=2|\cdot| := \|\cdot\|_2. Dann kannst du nichts falsch machen.

    Loggy schrieb:

    Ich fands auch immer praktisch, einfach den Vektorpfeil wegzulassen, wenn ich den Betrag meine... ist jetzt wohl auch Schluss mit, oder?

    An der Uni werden keine Vektorpfeile gemacht! Jedenfalls nicht, wenn man "ordentliche" Mathe macht. 😉



  • WebFritzi schrieb:

    An der Uni werden keine Vektorpfeile gemacht! Jedenfalls nicht, wenn man "ordentliche" Mathe macht. 😉

    Die Pysiker stehen drauf. Damit man unterscheiden kann, ob nicht gerade
    mit vereinfachten, skalaren Gleichungen hatiert wird.



  • Taurin schrieb:

    Damit man unterscheiden kann, ob nicht gerade mit vereinfachten, skalaren Gleichungen hatiert wird.

    Näher erläutern bitte. Ich versteh kein Wort.



  • Beispiel: Die Gleichung F = m * a . Eigentlich sind Kraft und Beschleunigung
    Vektoren. Deswegen malen Physiker ein Pfeil drüber. Es gibt aber Fälle
    (in diesem Fall z.B. den Eindimensionalen), da würde eine vektorielle Betrachtung
    einem das Leben schwerer machen. Dann lässt man die Pfeile weg.
    Da solche Vereinfachungen häufiger vorkommen, (insbesondere, wenn man die Grund-
    lagen eines Themas behandelt werden), muss man sich immer klar sein, ob man
    gerade Vektoren oder Skalare am wickel hat. Deswegen die Pfeile.



  • Na gut, aber das ist ja auch kein Mathe. 😉



  • komisch, unser prof (allerdings ein etwas chaotischer zeitgenosse) schreibt den betrag eines vektors wie aus der schule gewohnt: $$\left|v\right|$$ oder wenn mit werten \[\left|\left(\begin{array}{c}a\_1\\...\\a\_n\end{array}\right)\right|\]



  • Hast du dich irgendwie im Latex vertan??? 🙄

    EDIT: Geklärt... 😉



  • WebFritzi schrieb:

    Na gut, aber das ist ja auch kein Mathe. 😉

    Hab ich ja auch nie behaupted 🙄



  • Verstehe ich aber nicht, da mache ich doch lieber die Vektorpfeile und muss dann nicht lange überlegen, ob es ein Vektor ist oder nicht (unser Prof macht jetzt schon keine Vektor Pfeile mehr, ich finde, dass ist Faulheit an der falschen Stelle).

    Dafür lasse ich dann lieber einfach den Pfeil weg, wenn ich den Betrage meine (wie in der Physik), dann spare ich mir auch noch die Betragsstriche...



  • Loggy schrieb:

    Verstehe ich aber nicht, da mache ich doch lieber die Vektorpfeile und muss dann nicht lange überlegen, ob es ein Vektor ist oder nicht (unser Prof macht jetzt schon keine Vektor Pfeile mehr, ich finde, dass ist Faulheit an der falschen Stelle).

    Ich habe mal Sütterlinschrift für Vektoren gelernt. Was sagen die Studierten dazu?

    Dafür lasse ich dann lieber einfach den Pfeil weg, wenn ich den Betrage meine (wie in der Physik), dann spare ich mir auch noch die Betragsstriche...

    Allerdings gibt es auch einen Unterschied zwischen Vektoren in Physik und Vektoren in der Mathematik, der evtl eine eigene Benamsung rechtfertigt.



  • Daniel E. schrieb:

    Ich habe mal Sütterlinschrift für Vektoren gelernt. Was sagen die Studierten dazu?

    Kenn ich nur aus einem 70er-Jahre-Mathebuch, was bei uns zuhause rumsteht. Ich selbst hab nur die Schreibweise mit Pfeil und mit Fettdruck gelernt.



  • Daniel E. schrieb:

    Ich habe mal Sütterlinschrift für Vektoren gelernt. Was sagen die Studierten dazu?

    Also Sütterlin kenn ich eigentlich nur für Mengen.


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