[DiffGl] Abkühlungsgesetz von Newton



  • Zur Info:

    Abkühlungsgesetz von Newton schrieb:

    Eine Flüssigkeit der Temperatur T befindet sich in einem Raum mit der niedrigeren Temperatur T1. Die Änderung der Temperatur mit der Zeit ist proportional der Temperaturdifferenz.

    Ich habe da jetzt die Differentialgleichung aufzustellen und danach den Temperatur-Zeit-Zusammenhang darzustellen.

    Ich komme auf folgende DiffGl, die stimmt hoffentlich noch:

    d[e]Delta[/e]T
    --- = k * (T - T[t]1[/t])
    dt
    

    Um nun auf den Zusammenhang zu kommen habe ich das obrige zu integrieren. Allerdings weiß ihc nicht ganz wie. T und deltaT scheinen ja beide Variablen zu sein. Kann ich dann überhaupt ΔT nach (T-T1) integrieren? Wie gehe ich da vor? Steh etwas auf dem Schlauch 😞

    MfG SideWinder



  • DeltaT --> T


  • Mod

    SideWinder schrieb:

    Ich komme auf folgende DiffGl, die stimmt hoffentlich noch:
    [code]
    dΔT
    --- = k * (T - T1)
    dt

    An irgendeiner Stelle fehlt da ein Minus, soweit ich das sehe. Ich nehme mal an, es steckt schon im k, k ist also negativ.

    SideWinder schrieb:

    Um nun auf den Zusammenhang zu kommen habe ich das obrige zu integrieren.

    Differential-Gleichungen kann man selten durch einfaches Integrieren lösen.

    In diesem Fall kann man (T-T1), also ΔT, als Funktion der Zeit aufschreiben, da T von t abhängt: f(t) := T(t) - T1.

    Dann hast du als DGL:
    f(t)=kf(t)f'(t) = k \cdot f(t)
    Mit der Anfangsbedingung f(0) = T0 - T1 mit T0 = Temperatur der Flüssigkeit zu Beginn der Beobachtung.

    Gesucht ist also eine Funktion f, die mit ihrer Ableitung bis auf einen konstanten Faktor übereinstimmt. Sowas deutet immer sehr stark auf die Exponential-Funktion hin, und tatsächlich ist die Lösung hier der exponentielle Zusammenhang
    f(t)=(T_0T_1)ektf(t) = (T\_0 - T\_1) \cdot e^{kt}
    Denn dann ist f'(t):
    f(t)=(T_0T_1)kektf'(t) = (T\_0 - T\_1) \cdot k \cdot e^{kt}
    Sodass offenbar f(t)=kf(t)f'(t) = k \cdot f(t) gilt.
    Die Anfangsbedingung ist ebenfalls erfüllt:
    f(0)=(T_0T_1)ek0=T_0T_1f(0) = (T\_0 - T\_1) \cdot e^{k\cdot0} = T\_0 - T\_1
    Also ist ΔT=(T_0T_1)ekt\Delta T = (T\_0 - T\_1) \cdot e^{kt} eine Lösung der Differentialgleichung.

    Genau genommen müsste man jetzt noch zeigen, dass das die einzige Lösung ist, aber ich denke das war nicht deine Frage.



  • Christoph schrieb:

    Differential-Gleichungen kann man selten durch einfaches Integrieren lösen.

    diese aber schon... (zugegeben, man muß vor dem integrieren umformen).


  • Mod

    scrub schrieb:

    Christoph schrieb:

    Differential-Gleichungen kann man selten durch einfaches Integrieren lösen.

    diese aber schon...

    Wie?
    Hm, wie es aussieht, kenne ich viele Rechentricks der Physiker noch nicht. 😉



  • trennung der variablen? müßte hier doch gehen?
    (ich bin kein physiker, wie man an dieser schmutzigen mathematik, die ich verwende, erkennen kann)

    falls du wirklich nicht weißt, wie das geht oder was das bedeutet: mit dt multiplizieren und durch die temperaturdifferenz dividieren (das ist die "<trennung> der variablen"), danach auf beiden seiten integrieren. ist schmutzig, funktioniert aber. 🙂


  • Mod

    scrub schrieb:

    ist schmutzig, funktioniert aber. 🙂

    Oje, ich glaube ich weiß wieder, wieso ich mir das nicht gemerkt hab. 😉



  • Danke erstmal. Aber du scheinst das ja mehr mit "Feeling" und Probieren herausgefunden zu haben. Wir sollen das aber mit Integrieren schaffen und da taucht bei mir jetzt ein Problem auf:

    dT
    -- = - k * (T - T[t]1[/t])
    dt
    
    // Variablentrennung jetzt möglich weil d[e]Delta[/e]T ja doch dT ist:
     dT
    --- = -k * dt
    (T-T[t]1[/t])
    
    // Integrieren:
    ln(T-T[t]1[/t]) = -kt + ln(C)
    
    // Entlogarithmieren:
    T-T[t]1[/t] = e[h]-kt[/h] + C
    
    // Ergibt:
    T = T[t]1[/t] + e[h]-kt[/h] + C
    

    Das wär schön und gut wenn nicht laut Internet folgendes Ergebnis richtig ist:

    T = T[t]Env[/t] + (T[t]Anf[/t] - T[t]Env[/t])*e[h]-kt[/h]
    

    Wo liegt mein Fehler? Oder ist dieser zusätzliche Ausdruck bei mir in C verpackt? TEnv ist ja mein T1, aber ein TAnf taucht bei mir nicht mehr auf?!

    BTW: Was ist an Variablentrennung so schlecht? Wir benützen das andauernd 😞

    MfG SideWinder



  • du hast summandenweise potenziert... und das problem mit der integrationskonstanten löst such später wie gehabt mit der gegebenen nebenbedingung.


  • Mod

    SideWinder schrieb:

    [...]
    // Integrieren:
    ln(T-T[t]1[/t]) = -kt + ln(C)
    
    // Entlogarithmieren:
    T-T[t]1[/t] = e[h]-kt[/h] + C
    

    Müsste das nicht so lauten:
    TT1=ektCT - T_1 = e^{-kt} \cdot C
    da ekt+lnC=ektCe^{-kt + \ln C} = e^{-kt} \cdot C ist?

    Deine Anfangsbedingung steckt dann im C.

    SideWinder schrieb:

    BTW: Was ist an Variablentrennung so schlecht? Wir benützen das andauernd 😞

    Ich finde es etwas unsauber, "dt" wie eine Variable zu behandeln und damit zu multiplizieren. Dass es dennoch oft funktioniert, steht außer Frage. 🙂



  • Omg, natürlich gehört da ein * statt einem + - Schande über mich 🙂

    Thx an alle Beteiligten 🙂👍

    MfG SideWinder



  • Christoph schrieb:

    SideWinder schrieb:

    BTW: Was ist an Variablentrennung so schlecht? Wir benützen das andauernd 😞

    Ich finde es etwas unsauber, "dt" wie eine Variable zu behandeln und damit zu multiplizieren. Dass es dennoch oft funktioniert, steht außer Frage. 🙂

    Kannst du denn einen vergleichbaren Fall nennen in dem das rüberholen von dt Probleme bereiten könnte?



  • die schreibweise mit dem "dt rueberholen" mag unsauber sein, aber man kann das auch vernuenftig aufschreiben. an der methode "trennung d. variablen" ist an sich nichts schlechtes.


  • Mod

    Walli schrieb:

    Christoph schrieb:

    SideWinder schrieb:

    BTW: Was ist an Variablentrennung so schlecht? Wir benützen das andauernd 😞

    Ich finde es etwas unsauber, "dt" wie eine Variable zu behandeln und damit zu multiplizieren. Dass es dennoch oft funktioniert, steht außer Frage. 🙂

    Kannst du denn einen vergleichbaren Fall nennen in dem das rüberholen von dt Probleme bereiten könnte?

    Gegeben ist die DGL
    f(t)=f(t)f'(t) = f''(t).
    Die allgemeine Lösung ist f(t)=C_1+C_2etf(t) = C\_1 + C\_2 e^t.

    Aber jetzt mal ganz unsauber mit der obigen Methode gerechnet. Zuerst einmal schreiben wir die DGL mit dt:
    dfdt=d2fdt2\frac{df}{dt} = \frac{d^2 f}{dt^2}
    Jetzt multiplizieren wir mit dt durch:
    df=d2fdtdf = \frac{d^2f}{dt}
    Und teilen durch d:
    f=dfdtf = \frac{df}{dt}
    Ab hier ist klar, dass wir nur noch folgende Lösung erhalten werden:
    f(t)=Cetf(t) = C e^t
    Das heißt, wir erhalten nicht sämtliche Lösungen der oben genannten Differentialgleichung.

    Möglicherweise ist mir auch ein anderer Fehler unterlaufen, aber ich habe versucht, mich möglichst eng an die "d, dt etc. sind Variablen"-Regel zu halten.



  • also durch d dividieren hat keiner gesagt und ist voelliger unsinn. so wirst du ja jede ableitung los.


  • Mod

    PeterTheMaster schrieb:

    also durch d dividieren hat keiner gesagt und ist voelliger unsinn. so wirst du ja jede ableitung los.

    Gut, anderes Beispiel:

    Gegeben ist die DGL:
    f(t)=(f(t))2f'(t) = (f'(t))^2
    In df/dt-Notation:
    dfdt=(dfdt)2=(df)2(dt)2\frac{df}{dt} = \left(\frac{df}{dt}\right)^2 = \frac{(df)^2}{(dt)^2}
    Durch dfdt\frac{df}{dt} teilen (angenommen dfdt0\frac{df}{dt} \neq 0, siehe *):
    1=dfdt1 = \frac{df}{dt}
    Wieder erhält man nur "eine" Lösung:
    f(t)=t+Cf(t) = t + C
    Es gibt aber eine weitere Lösungsmenge:
    f(t)=Cf(t) = C (immer mit CRC \in \mathbb R, wie üblich).

    Nachtrag 1: Ich habe leider gerade keine exakte Definition des Begriffs "Differentialgleichung" griffbereit. Vielleicht ist das gar keine DGL, weil f(0)f^{(0)} nicht vorkommt. Ich vermute aber eher, dass der Begriff DGL allgemein genug definiert ist.

    * (Nachtrag 2): Beachtet man den Fall dfdt=0\frac{df}{dt} = 0, so findet man natürlich alle Lösungen.



  • wieder am thema vorbei, hier ist das problem lediglich, dass du die aequivalenzumformung falsch gemacht hast, es gilt nicht x=x^2<=>1=x, fallunterscheidung wegen division durch 0 ist vonnoeten.


  • Mod

    PeterTheMaster schrieb:

    wieder am thema vorbei, hier ist das problem lediglich, dass du die aequivalenzumformung falsch gemacht hast, es gilt nicht x=x^2<=>1=x, fallunterscheidung wegen division durch 0 ist vonnoeten.

    Autsch, stimmt. So ein dummer Fehler. 😞

    Nagut, inzwischen vermute ich, dass diese Variante funktioniert, wenn auf der einen Seite der DGL nur f und auf der anderen nur f' auftaucht bzw. es sich dahin umformen lässt.


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