vollständige induktion
-
Vielleicht gefällt es ihm so?
n -> n+1 (Heißt: Wir beweisen aus n! < n^n dass (n+1)! < (n+1)^(n+1)) n! < n^n (Induktionsannahme) | * (n+1) <=> (n+1)! < n^n * (n+1) | multiplizieren rechte Seite mit | ((n+1)/n)^n. Das ist gleich (1 + 1/n)^n > 1 | also bleibt die Ungleichung bestehen <=> (n+1)! < (n+1)^n * (n+1) = (n+1)^(n+1) qed
-
@strippenzieher:
Schau Dir das an. Was soll man dazu noch sagen!
Am Besten nix!
-
Oh leck, ich habe selten einen Menschen gesehen, welcher sich so störrisch gegen Abschätzungen wehrt. Der Ansatz für den Beweis von .filmor für B(n+1) ist zwar gut, wird aber schätzungsweise bei größeren Beweisen unbrauchbar sein, da man öfters als einmal einen Term abschätzen muss.Ich frage mich langsam ob du überhaupt die Induktion richtig verstanden hast. Warum macht man denn den Induktionsanfang, -schritt ? Was heißt denn überhaupt Induktion ? ...
Frag doch ruhig mal nach, wenn du Dinge nicht verstehst! Es wird dich keiner steinigen wenn du sehr einfache Dinge nachfragst. Und es ist keine Schande nachzufragen was der Unterschied zwischen "genau dann wenn" und "daraus folgt" ist!
-
Ich weiss nicht genau wo das Verständnisproblem von einigen liegt, aber vielleicht kann ich helfen.
Es ist A priori nicht klar, dass die vollständige Induktion funktioniert bzw. mathematisch korrekt ist. Das muss man natürlich auch beweisen.
Ein Beweis findet sich z.B. hier:
-
pasti schrieb:
Ich weiss nicht genau wo das Verständnisproblem von einigen liegt, aber vielleicht kann ich helfen.
Es ist A priori nicht klar, dass die vollständige Induktion funktioniert bzw. mathematisch korrekt ist. Das muss man natürlich auch beweisen.
Ein Beweis findet sich z.B. hier:
Guter Link. Danke!
-
Prof84 schrieb:
pasti schrieb:
Guter Link. Danke!
Die anderen deutschen und englischen Artikel aus Wikipedia zur Induktion sind leider erstaunlich schlecht.
-
Zur Abgrenzung sei bemerkt, dass Induktionsbeweis und Induktionsschluss keine aequivalenten Begriffe sind.
http://de.wikipedia.org/wiki/Induktionsschluss
vs.
http://de.wikipedia.org/wiki/Transfinite_Induktion
-
pasti schrieb:
Es ist A priori nicht klar, dass die vollständige Induktion funktioniert bzw. mathematisch korrekt ist. Das muss man natürlich auch beweisen.
Das Induktionsprinzip ist ein Axiom. Würdest du bitte näher ausführen, was du damit meinst, du müsstest das beweisen? Ich sehe hier:
auch nicht wirklich einen Beweis für das Induktionsprinzip.
-
Hatcher, William S., 1982. The Logical Foundations of Mathematics.
Hier sollte die Herleitung des Induktionsprinzips aus der ZFC drinstehen. Habe das Buch aber gerade nicht zur Hand.
Man definiert die natuerlichen Zahlen als Durchschnitt aller induktiven Mengen um obiges zu Beweisen, wenn ich mich richtig erinere.
-
OK, wenn du von ZFC her kommst, seh ich das ein. Aber ich glaube, damit sprengen wir irgendwie den Rahmen des Threads.
Und Prof84 weiß immer noch nicht, was Induktion ist
-
pasti schrieb:
Hatcher, William S., 1982. The Logical Foundations of Mathematics.
Hier sollte die Herleitung des Induktionsprinzips aus der ZFC drinstehen. Habe das Buch aber gerade nicht zur Hand.
Man definiert die natuerlichen Zahlen als Durchschnitt aller induktiven Mengen um obiges zu Beweisen, wenn ich mich richtig erinere.
interessant. ich kenne die induktion auch nur als 9. peano-axiom
-
Bashar schrieb:
Und Prof84 weiß immer noch nicht, was Induktion ist
und du weißt immer noch nicht wovon ich rede!
-
Stimmt wahrscheinlich. Ich aber auch nicht.
Kannst du das Problem vielleicht nochmal formulieren? Reicht dir meine Variante des Beweises auch nicht aus?
-
Prof84 schrieb:
und du weißt immer noch nicht wovon ich rede!
"Ätschibätsch!" Ja klar, du rückst ja nicht mit Erklärungen raus.
-
Beatrix schrieb:
pasti schrieb:
Hatcher, William S., 1982. The Logical Foundations of Mathematics.
Hier sollte die Herleitung des Induktionsprinzips aus der ZFC drinstehen. Habe das Buch aber gerade nicht zur Hand.
Man definiert die natuerlichen Zahlen als Durchschnitt aller induktiven Mengen um obiges zu Beweisen, wenn ich mich richtig erinere.
interessant. ich kenne die induktion auch nur als 9. peano-axiom
Die Peano-Axiome habe in der Mathematik keine Bedeutung mehr. Als man in den 1930er Jahren die Mengenlehre überarbeiten musste um Wiedersprüche zu beheben, konnte man dann auch die natürlichen Zahlen wunderbar herleiten.
-
So ich fasse also mal die aufgekommenen Fragen zusammen:
1.) Wie funktioniert der Beweis n! < n^n mittels der vollständigen Induktion ?
2.) Warum funktioniert die Induktion ? Kann man diese beweisen ? Und wenn ja, wie ?
3.) Auf welchen Grundlagen steht die Induktion ? In welchem Verhältnis stehen die Peano Axiome zur Induktion ? Und erst Recht in welchem Verhältnis steht die Rekursion zur Induktion ?PS: Ich vermisse die Zeit in denen man noch Gegeben, Gesucht, Lösung hinschrieb!
-
Bitte ein Bit schrieb:
So ich fasse also mal die aufgekommenen Fragen zusammen:
1.) Wie funktioniert der Beweis n! < n^n mittels der vollständigen Induktion ?
2.) Warum funktioniert die Induktion ? Kann man diese beweisen ? Und wenn ja, wie ?
3.) Auf welchen Grundlagen steht die Induktion ? In welchem Verhältnis stehen die Peano Axiome zur Induktion ? Und erst Recht in welchem Verhältnis steht die Rekursion zur Induktion ?PS: Ich vermisse die Zeit in denen man noch Gegeben, Gesucht, Lösung hinschrieb!
Ich will zuerst:
0) Eine Formulierung, die plausible macht, dass n! langsamer wächst als n^n,
siehe auch Post Stippenzieher!
-
Warum? Das wäre der Beweis der Aussage (der hier bereits korrekt erbracht wurde). Wenn es dir nur um die Anschauung geht, dann schau dir die Faktoren von n^n und n! an.
n^n = n * n * ... * n n! = n * (n-1) * ... * 1Also sind alle Faktoren bis auf den ersten bei n! kleiner als bei n^n, die Funktion n*_ ist streng monoton, damit auch ihre Verknüpfungen. Es läuft aber immer auf Induktion hinaus.
-
Jetzt mal ehrlich: warum macht ihr euch die Mühe auf inzwischen 6 Seiten Prof86 zu erklären, dass sein Einwand quark ist und er nur zu faul ist sich hinzusetzen und das Prinzip der Vollständigen zu lernen?
@Prof86: dass die Abschätzung gilt wurde von Taurin vor ettlichen Seiten per vollständiger Induktion bewiesen
Dein "Beweis" ist dagegen Käse, wer diesen "Beweis" einsieht dem muss man die Aussage auch nicht mehr beweisen...
-
Mathematikker schrieb:
Jetzt mal ehrlich: warum macht ihr euch die Mühe auf inzwischen 6 Seiten Prof86 zu erklären, dass sein Einwand quark ist und er nur zu faul ist sich hinzusetzen und das Prinzip der Vollständigen zu lernen?
@Prof86: dass die Abschätzung gilt wurde von Taurin vor ettlichen Seiten per vollständiger Induktion bewiesen
Dein "Beweis" ist dagegen Käse, wer diesen "Beweis" einsieht dem muss man die Aussage auch nicht mehr beweisen...
Scheiße, jetzt hab ich den gleichen Fehler gemacht, bitte ignoriert die letzten beiden Abschnitte.