Fourier-Transformation



  • Hallo, ich soll die das Spektrum F(ω)F(\omega) von f(t)={cos2(πt)0.5t0.50f(t) = \begin{cases}cos^2(\pi t) & -0.5 \le t \le 0.5 \\ 0 \end{cases} ausrechnen. Hab ich mir gedacht, wendest du die Formel F(ω)=12π0.50.5f(t)ejωtdtF(\omega) = \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi} } \int\limits_{-0.5}^{0.5} f(t) \cdot e^{-j \omega t} \; dt an. Ich komm jedoch nach ein wenig Umformerei auf

    \frac{1}{ \sqrt{2\pi} } \int\limits_{-0.5}^{0.5} 0.5 \d t \+ \frac 1 4 \left( \int\limits_{-0.5}^{0.5} e^{ jt(-\omega + 2\pi) } \; dt \+ \int\limits_{-0.5}^{0.5} e^{ -jt(\omega + 2\pi) } \; dt \right)

    und von dort 1. nicht weiter, und 2. bezweifel ich, dass ich auf dem richtigen Weg bin.

    Hätte da jemand vielleicht irgendwelche Tipps und Vorschläge für mich? 🙂

    (Gibts keine LaTeX-Vorschau hier im Forum?)



  • hier nochmal mit Formeln... Latex scheint hier nicht zu gehen:

    http://mathbin.net/11240



  • spektrum schrieb:

    ... Latex scheint hier nicht zu gehen:

    das scheint nicht nur so und ist nichts neues.
    das nenne ich beharrliche ignoranz. 😃



  • latex n00b schrieb:

    spektrum schrieb:

    ... Latex scheint hier nicht zu gehen:

    das scheint nicht nur so und ist nichts neues.
    das nenne ich beharrliche ignoranz. 😃

    Das ist aber das erste mal in 1 oder 2 Jahren, dass ich hier LaTeX reinstellen möchte... .



  • spektrum schrieb:

    hier nochmal mit Formeln... Latex scheint hier nicht zu gehen:

    http://mathbin.net/11240

    führ doch mal die integrale aus



  • Ich würde erstmal den Latex-Code vereinfachen. 💡



  • Nur mal so ein Versuch, alle Angaben ohne Gewehr (neue Rechtschreibung, gell?): cos^2 kann man auch anders darstellen.



  • Man sollte beachten, dass es sich um eine reelle gerade Funktion handelt. Das vereinfacht die Sache doch erheblich.



  • spektrum schrieb:

    Das ist aber das erste mal in 1 oder 2 Jahren, dass ich hier LaTeX reinstellen möchte... .

    Ich meine ja auch nicht dich!
    😉



  • Ich weiss nicht ganz, wie Du zu dem Term kommst, aber ich komme auf

    F ([e]omega[/e]) = 
    
    0,5
    [e]int[/e] (cos t)^2 exp (-i [e]omega[/e]t) dt
    -0,5
    

    mit der Eulerschen Equivalanz:

    cos (t) = (1/2) (exp (it) + exp (-it))
    

    Muesste das zu loesen sein.



  • Ich weiss nicht, wie die Vorposter auf ihre Formeln kommen (imho kann kein ^e vorkommen), aber ich komme bis auf das t im ersten Integral auf das selbe wie du.

    Wie's von da weitergeht?
    Du wirst doch die e-Funktion aufleiten können, oder? 😉
    (d/dt 1/a exp(a t) = exp(a t))
    Endergebnis zum Vergleich:
    F[f](\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{ \sin \omega}{(\omega+2\pi)(\omega-2\pi)} \right)
    Grenzwert für omega gegen +/- 2 pi über entwicklung von sin(omega) -> wohldef.



  • C14 schrieb:

    Ich weiss nicht, wie die Vorposter auf ihre Formeln kommen (imho kann kein ^e vorkommen), aber ich komme bis auf das t im ersten Integral auf das selbe wie du.

    Weil der "Vorposter" (ich) dicke Finger hatte ...


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