potenzreihe



  • \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}{\dfrac{(-1)^n}{(2\cdotn+1)\cdot3^{2 n+1}} \cdot x^{2n+1}

    wie bestimme ich vonb dieser reihe den konvergenzradius??

    1. das -1^n stört mich irgendwie und wenn ich das weglasse bekomme ich unendlich raus, was ich mir aber nicht vorstellen kann...

    hat jemand die lösung / den ansatz für mich?



  • ach ja kleiner fehler unter dem bruchstrich muss es (2n +1) * 3^{2n+1} heißen



  • nach nochmaligem rechnen bin ich dreauf gekommen dass rho = 9 ist

    das -1 plättet der betrag ja ohnehin, stimmt mein rho?



  • shisha schrieb:

    nach nochmaligem rechnen bin ich dreauf gekommen dass rho = 9 ist

    das -1 plättet der betrag ja ohnehin, stimmt mein rho?

    wurzel vergessen? und das -1 ist in der summe?



  • hhm nochmal

    $ \dfrac{a[n]}{a[n+1]} =\lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{(-1)^n}{(2n+1) \cdot 3^{2n+1} }\cdot \dfrac{(2n+3)\cdot 3^{2n+3}}{(-1)^{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{3^{2n}\cdot 3^3}{3^{2n}\cdot 3} \right | =9 $

    ist da nochwas falsch?



  • shisha schrieb:

    hhm nochmal

    $ \dfrac{a[n]}{a[n+1]} =\lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{(-1)^n}{(2n+1) \cdot 3^{2n+1} }\cdot \dfrac{(2n+3)\cdot 3^{2n+3}}{(-1)^{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{3^{2n}\cdot 3^3}{3^{2n}\cdot 3} \right | =9 $

    ist da nochwas falsch?

    ich habe deinen zweiten post erst nicht gelesen, aber wo ist jetzt im quotientenkriterium das x? das kürzt sich auch nicht weg



  • ich verwende das quotientenkriterium für potenzreihen

    $ \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a\_n \cdot x^n} \text{ konvergiert im Konvergenzradius } \rho = \lim\_{n \rightarrow \infty} \left| \dfrac{a\_n}{a\_{n+1}} \right | $

    da steht kein x mehr...

    aber ich habe es nicht direkt mit x^n zu tun sondern mit x^(2n+1)

    muss ich das irgendwie berücksichtigen??



  • shisha schrieb:

    aber ich habe es nicht direkt mit x^n zu tun sondern mit x^(2n+1)

    muss ich das irgendwie berücksichtigen??

    du kannst ein x ausklammern(1) und die reihe als reihe von u := -x^2 betrachten.
    oder das allgemeine quotientenkriterium benutzen

    (1): natürlich beachten, wann genau das geht



  • In deiner Reihe sind alle ungeraden Potenzen vorhanden, die geraden aber nicht. D.h., jedes zweite a_n ist Null.

    http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

    Formel von Cauchy-Hadamard benuutzt den limes superior, d.h. den größten Häufungspunkt. Ein Häufungspunkt ist Null (weil jedes zweite a_n Null ist). Guck mal, ob du noch andere Häufungspunkte findest 🙂



  • Sorry, geirrt.


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