Alte Klausuraufgabe



  • Hallo ich komme mit folgender Aufgabe nicht zurecht, das Problem ist eher dass ich die Fragestellung nicht verstehe

    Es seien X = {x, y, z} und A = {i, j} zwei endliche Mengen. Wieviel verschiedene
    Abbildungen f : X -> A gibt es? (Es ist nicht nötig alle Abbildungen aufzulisten, aber begründen Sie wie Sie zu Ihrem Ergebnis kommen) (2 Punkte)
    Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv? (2 Punkte)
    Wie müssen X und A geändert werden,
    damit alle möglichen Abbildungen bijektiv sind? Begründung. (2 Punkte)
    

    Also zur letzten Aufgabe fällt mir spontan ein dass X und A auf jeden Fall die selbe Kardinalität haben sollten.

    Aber schon bei der ersten Teilfrage: was genau wird hier unter Abbildung verstanden und wie komme ich darauf?

    Teilfrage 2 könnte ich beantworten wenn ich die erste beantworten könnte



  • Bei einer Abbildung von X nach A weist du jedem Element aus X genau ein Element aus A zu.

    Beispiel:
    x -> i
    y -> i
    z -> j

    Du kannst jedes Element aus X auf genau eines von zwei Elementen aus A schicken. Das macht dann 2 (Elemente aus A) ^ 3 (Elemente aus 😵 = 8 mögliche verschiedene Abbildungen, denn du hast zwei Möglichkeiten für x mal zwei davon unabhängige Möglichkeiten für y mal zwei davon unabhängige Möglichkeiten für z.

    Da du meinst, dass du nun die anderen Aufgaben lösen kannst, beantworte ich sie (noch) nicht. Nur soviel: Deine Lösung zur letzten Aufgabe ist nicht vollständig, denn es ist nicht gefragt, wann es eine bijektive Abbildung gibt, sondern wann alle möglichen Abbildungen bijektiv sind.



  • zum letzten Aufgabenteil:

    K zhff qvr xneqvanyvgäg 1 unora?



  • otze: N haq K züffra qvrfryor Xneqvanyvgäg unora haq qvrfr zhff ragjrqre ahyy bqre rvaf frva.



  • also dann will ich mich mal daran versuchen,

    es gibt also 8 abbildungen so wie es im moment aussieht
    c++ funktionszeiger

    ich glaube keine der abbildungen kann injektiv sein, da 1 Element aus A mindestens 2mal angesprochen wird.

    Surjektivität:
    Da gibt es welche nämlich alle ausser den 2 Abbildungen, bei denen alle Elemente von X auf entweder i oder j zeigen, also 6 surjektive.

    Damit alle Abbildungen bijektiv werden...
    so ganz spontan würde mir nur eine Möglichkeit einfallen damit ALLE möglichen Abbildungen bijektiv sind, ich bräuchte 2 einelemtige Mengen.

    Bin gespannt auf die Korrektur und würde gern wissen was das für eine spRACHE da war ^^



  • shisha schrieb:

    Bin gespannt auf die Korrektur und würde gern wissen was das für eine spRACHE da war ^^

    Sieht gut aus, ausser dass du beim letzten Punkt nichts begründet hast.
    Die Sprache hab ich auch nicht geschnallt 😞



  • Das war ROT13

    @Michael Danke!



  • shisha schrieb:

    Damit alle Abbildungen bijektiv werden...
    so ganz spontan würde mir nur eine Möglichkeit einfallen damit ALLE möglichen Abbildungen bijektiv sind, ich bräuchte 2 einelemtige Mengen.

    Nicht ganz. Die Lösung erhälst du, wenn du das, was ich an otze gerichtet hab, ROT13-entschlüsselst (z. B. mit http://rot13.com/). Dann erhälst du:

    A und X müssen dieselbe Kardinalität haben und diese muss entweder null oder eins sein.



  • wo wir wieder an einem der wenigen punkte sind die mathe spannend machen aber klausuren doof ^^

    welcher normale mensch denkt schon an kardinalität 0 ^^

    Aber sonst hab ichs verstanden, danke



  • Wie das halt so ist, ist mir nachts eingefallen, dass die Lösung falsch ist 😃

    Wenn die Kardinalität von X und A null oder eins ist, müssen sie nicht gleich sein. Denn wenn |X| = 1 und |A| = 0, dann gibt es keine Abbildung von X nach A und somit ist die Aussage "alle Abbildungen sind bijektiv" leer. Analog der andere Fall.



  • Michael E. schrieb:

    Denn wenn |X| = 1 und |A| = 0, dann gibt es keine Abbildung von X nach A und somit ist die Aussage "alle Abbildungen sind bijektiv" leer.

    Soweit (sogar für |X|>0 beliebig!) richtig

    Analog der andere Fall.

    Du meinst |X|=0, |A| > 0? Dann gibt es strenggenommen die leere Abbildung - und die ist nicht bijektiv!



  • SG1 schrieb:

    Michael E. schrieb:

    Denn wenn |X| = 1 und |A| = 0, dann gibt es keine Abbildung von X nach A und somit ist die Aussage "alle Abbildungen sind bijektiv" leer.

    Soweit (sogar für |X|>0 beliebig!) richtig

    Das wäre dann meine nächste Überlegung 😃

    Analog der andere Fall.

    Du meinst |X|=0, |A| > 0? Dann gibt es strenggenommen die leere Abbildung - und die ist nicht bijektiv!

    Die kannte ich noch gar nicht.


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