Mengenlehre



  • Hallo zusammen,

    kann mir jemand anschaulich erklären, warum der Begriff der "Menge aller Mengen" sinnlos und vor allem widersprüchlich ist? Onkel Google hat da nichts Zufriedenstellendes für mich 🙂

    Danke
    freakC++





  • Ah.super. danke. wusste gar nicht, dass das einen Namen hat.

    Wenn ich von zwei Mengen eine Vereinigung mache, werden dann doppelte Elemente rausgestrichen, also nur einmal in die Vereinigungsmenge genommen?



  • freakC++ schrieb:

    Wenn ich von zwei Mengen eine Vereinigung mache, werden dann doppelte Elemente rausgestrichen, also nur einmal in die Vereinigungsmenge genommen?

    Ja.

    Nebenbei: {1,2,3,3,3,4,5}=={1,2,3,4,5}, man darf in der Aufzählenden Schreibweise Mehrfachnennungen haben. Die Menge hat trotzdem nur 5 Elemente.



  • ok. danke. hab ich mir schon fast gedacht 🙂

    Wenn ich mir nun deine Menge M mal anschaue und die Komplementärmenge aufschreiben möchte, wie macht man das denn mathematischt?

    Die Komplementärmenge hat alle Zahlen aus 1-5, doch ich weiß ja gar nicht, ob auch negative oder irrationale Zahlen dabei sind. Wie schreibe ich die KOmplementärmenge auf?

    edit: Noch eine kleine Anfügung zur vorletzen Frage. Wenn ich ein Kartesisches Produkt zweier Mengen erstelle und Tupel wie (4,5) und (5,4) entstehen, MUSS oder KANN ich sie dann auch rausstreichen, also die "doppelten"?

    Danke



  • Das kommt auf das Universum (die Grundmenge) an.

    Wenn du im Universum der natuerlich Zahlen N := {0, 1, 2, ... } bist und A = {0,1}, dann ist das Komplement von A gegeben durch N\A = {2, 3, 4..}. Die Notation N\A bedeutet "alle Elemente aus N ohne die Elemente aus A".

    Wenn du im Universum der rationalen Zahlen bist, dann ist Q/A = { x in Q : x nicht in A}



  • freakC++ schrieb:

    Wenn ich ein Kartesisches Produkt zweier Mengen erstelle und Tupel wie (4,5) und (5,4) entstehen, MUSS oder KANN ich sie dann auch rausstreichen, also die "doppelten"?

    Die sind nicht doppelt. Zeichne dir in einem Koordinatensystem die beiden Punkte ein, wie du es aus der Schule kennst.



  • freakC++ schrieb:

    edit: Noch eine kleine Anfügung zur vorletzen Frage. Wenn ich ein Kartesisches Produkt zweier Mengen erstelle und Tupel wie (4,5) und (5,4) entstehen, MUSS oder KANN ich sie dann auch rausstreichen, also die "doppelten"?

    (4,5) und (5,4) sind gar nicht gleich also darfste die nicht als "doppelt" rausstreichen.



  • freakC++ schrieb:

    kann mir jemand anschaulich erklären, warum der Begriff der "Menge aller Mengen" sinnlos und vor allem widersprüchlich ist? Onkel Google hat da nichts Zufriedenstellendes für mich 🙂

    Das ergibt sich aus dem zahlentheoretischen Hintergrund der Mengenlehre. Man könnte allgemein sagen, Mengenlehre ist Ausdifferenzierung. Man würde dann wohl sagen, die ausdifferenzierte Elementmenge "Nicht-Ausdifferenziert".

    Mir fällt es einfacher, solche Zusammenhänge zu verarbeiten, wenn ich geschichtliche Hintergründe und Zusammenhänge erkennen kann, also z.B. die Überlegungen von Cantor zu seiner Zeit.

    Oft sind gewisse theoretische Ideen nicht unabhängig von aktuellen Vorkenntnissen und Theorien bzw. Weltbildern einer Zeit. Für heutige Zeiten wären vielleicht virtuelle Zahlen oder simulierte Zahlen eine passende Theorie. Aber Gauss war seiner Zeit weit voraus, könnte man meinen.

    z.B.
    Menge A: normale Zahlen
    Menge B: virtualisierte Zahlen
    Menge C: normale Zahlen + virtualisierte Zahlen
    Menge 😨 normale Zahlen + virtualisierte Zahlen + normale und virtualisierte Zahlen und natürlich nochmal D...
    (...irgendwie geht das daneben...aber vielleicht kann man doch noch die Kurve kriegen?)

    @freakC++:
    vergiß, was ich da oben geschrieben hab, aber schau dir die Arbeit Cantors an, schaden kann das nicht - ...oder etwa doch...?



  • Ein schoenes und anschauliches Beispiel fuer die Selbstreflexivitaet ist folgendes:

    "Der Barbier rasiert jeden, der sich selber nicht rasiert. Rasiert sich der Barbier?".

    Bei Antworten, Ja und Nein, fuehren zu einem Wiederspruch.

    Wenn man die Aussage oberhalb in der Mengenschreibweise formuliert ist man bei der Russelschen Anatomie.



  • icarus2 schrieb:

    Wenn man die Aussage oberhalb in der Mengenschreibweise formuliert ist man bei der Russelschen Anatomie.

    Der Ärmste.



  • volkard schrieb:

    icarus2 schrieb:

    Wenn man die Aussage oberhalb in der Mengenschreibweise formuliert ist man bei der Russelschen Anatomie.

    Der Ärmste.

    Was meinst du mit der Aermste?
    Ich habe nur ein Beispiel genannt, das auf Russels Anotomie zurueckzufuehren ist. Ist denn daran etwas falsch?



  • Du hattest geschrieben, er habe eine widersprüchliche Anatomie. 🤡



  • volkard schrieb:

    Du hattest geschrieben, er habe eine widersprüchliche Anatomie. 🤡

    Nein, es war bloss an anschauliches Beispiel fuer seine Anatomie.



  • Ok, ich geb's auf.



  • Auch im Matheforum gibt's also was zu lachen. Apropos. Wo steckt eigentlich PI?



  • volkard schrieb:

    Ok, ich geb's auf.

    Achso. Ein Bier spaeter weiss ich was du meinst 😃



  • Ich hake hier mal ein. Bitte beachten, dass ich quasi keine Mathematische Bildung besitze. (Schüler..)
    Ich verstehe das Paradoxon bei "Es sei R die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht beinhalten.". (Wie bei dem Rasierbeispiel.) Die Frage "Ist R in R?" ist nicht zu beantworten, da R in R sein müsste, wenn R nicht in R ist und R nicht in R sein darf, wenn R in R ist.

    Aber bei "Es sei R die Menge aller Mengen." ist die Frage "Ist R in R?" doch eindeutig mit "Ja" zu beantworten?





  • camper schrieb:

    cooky451 schrieb:

    Aber bei "Es sei R die Menge aller Mengen." ist die Frage "Ist R in R?" doch eindeutig mit "Ja" zu beantworten?

    Und was ist mit der Menge aller Mengen selbst? Anders gefragt: kann eine Menge sich selbst enthalten?

    Ist das ein Unterschied zu "Ist R in R?"? Ich denke nicht, bzw. ich sehe ihn nicht. Ich würde die Frage weiter mit "Die Menge aller Mengen beinhaltet sich selbst, denn die Menge aller Mengen ist ja eine Menge." beantworten. Das gibt zwar irgendwie eine unendliche Rekursion, aber ist das ein Problem?


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