Relationen
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Die Menge ist die Relation, sie enthält alle Paare, für die die erste Zahl höchstens so groß ist wie die zweite. Das ist Super praktisch, wenn ich wissen will ob a kleiner oder gleich als b ist muss ich Ur schaun ob (a,b) in der Menge deine ist oder nicht. Weil (a,b) \in R_{<=} aber ein bisschen umständlich zu schreiben ist hat man ne Abkürzung erfunden und schreibt einfach a <= b.
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Die Relation ist die Menge {(0;0);(0;1);(1;1);(0;2);(1;2);(2;2);…}
//Die Menge aller paare, wo die erste Zahl kleiner oder gleich der zeiten Zahl ist. Ich hatte gerade
//keine Lust, alle Paare aufzuählen.Die Relation hat den Namen <=.
//Kein Witz. in der Mathematik müssen gültige Bezeichner nichtmal Buchstaben drin haben.Also
<= = {(0;0);(0;1);(1;1);(0;2);(1;2);(2;2);...}
//Das beschreibt man besser mit Worten, hihi.Und man vereinbart die akürzende Schreibweise
a<=b für (a,b)€<=
//Bzw allgemein aRb für (a,b)€RWas ist jetzt die Relation??? Das Kleiner-Gleich Zeichen oder eine Teilmenge von NxN..
Das Kleiner-Gleich-Zeichen ist nur der Name der Kleiner-Gleich-Relation. Die Kleiner-Gleich-Relation ist eine Teilmenge von NxN. Und daß man das Kleiner-Gleich-Zeichen auch als binären Operator benutzen darf, ist eine irrelevante Schreibabkürzung.
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Hallo!
Ahhh...das macht Sinn! Vielen, vielen Dank! Wir kommen der ganzen Problematik näher
Hihi.Bei der Aufgabe, die ich ganz am Anfang gepostet hatte, war aber kein Name für die Relation gegeben. Da hieß es einfach, dass die Grundmenge G = {1,2,3} und R = {(1,2)} ist.
Um jetzt zu schauen, ob die Relation R beispielsweise reflexiv ist, muss geprüft werden, ob xRy gilt, wobei x und y aus R sind. Hier habe ich aber keinen Namen und weiß gar nicht, welche Rechenvorschrift gilt.
Wenn ich der Relation den Namen "<=" gebe, dann ist ja alles klar, doch hier?
Deswegen finde ich µs Aussage interessant.
µ schrieb:
Es muss gelten "x op x". Gilt "1 op 1" ? Ist (1,1) element von R?
Warum? Weswegen ist die Aussage "1 op 1" äquivalent mit (1,1)?? "op" wäre ja eigentlich der Name der Relation, also z.B. "<=", der hier aber nicht gegeben ist....
Vielen Dank
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freakC++ schrieb:
Bei der Aufgabe, die ich ganz am Anfang gepostet hatte, war aber kein Name für die Relation gegeben. Da hieß es einfach, dass die Grundmenge G = {1,2,3} und R = {(1,2)} ist.
Doch, diese Relation heißt R.
freakC++ schrieb:
Um jetzt zu schauen, ob die Relation R beispielsweise reflexiv ist, muss geprüft werden, ob xRy gilt, wobei x und y aus R sind.
Genau. Nee, ob xRx, wobei x aus G ist.
freakC++ schrieb:
Hier habe ich aber keinen Namen und weiß gar nicht, welche Rechenvorschrift gilt.
Doch!!!
Du hast doch die Relation vorliegen.
Testen wir doch mal.
1R1?
2R2?
3R3?
Antwort:
1R1? Nö.
2R2? Nö.
3R3? No.
Denn ich habe (1,1) und (2,2) und (3,3) echt nicht in R gefunden. Eine sehr kleine Relation.
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volkard schrieb:
freakC++ schrieb:
Bei der Aufgabe, die ich ganz am Anfang gepostet hatte, war aber kein Name für die Relation gegeben. Da hieß es einfach, dass die Grundmenge G = {1,2,3} und R = {(1,2)} ist.
Doch, diese Relation heißt R.
Ok...:D..haha..einverstanden!
volkard schrieb:
Testen wir doch mal.
1R1?
2R2?
3R3?
Antwort:
1R1? Nö.
2R2? Nö.
3R3? No.
Denn ich habe (1,1) und (2,2) und (3,3) echt nicht in R gefunden. Eine sehr kleine Relation.Aber warum heißt bitte 1R1, dass das Tupel (1,1) existieren muss? Das verstehe ich nicht. R ist mein Name. Stünde da "<=" oder "=" fiele mir das leichter, aber warum heißt R, dass (1,1) existieren muss?
Danke dir
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freakC++ schrieb:
Aber warum heißt bitte 1R1, dass das Tupel (1,1) existieren muss?
Weil das in der Standardlib so steht.
#define a R b := (a,b)€Raber warum heißt R, dass (1,1) existieren muss?
Heißt es doch gar nicht.
Aber wir wollten doch schauen, ob R reflexiv ist.
Wäre R reflexiv, müßte 1R1 gelten. Also (1,1)€R sein.
Und dann hab ich nachgeschaut in R, also in {(1,2)}...
...nö, (1,1) ist nicht in R. Also gilt 1R1 nicht.Also ist R nicht reflexiv.
Zum Beispiel die Relation S={(1,1),(2,2),(1,3),(3,3),(3,1)} wäre reflexiv.
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ahhhh...danke volkard! Du kriegstn Eis von mir! Das habe ich verstanden.
Ok!! Wunderbar. Ich schreite nun bei meinen Aufzeichnen weiter fort und melde mich dann bestimmt gleich wieder
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Die "<=" Relation ist also reflexiv, nicht symmetrisch, antisymmetrisch und transitiv, wenn ich das richtig verstanden habe?
Begründung zur Antisymmetrie: Wenn (xRy UND yRx) gilt, dann gilt auch x = y. Die Bedingung kann bei "<=" ja nur erfüllt sein, wenn x und y gleich sind.
Die Relation "<" wäre zum Beispiel sowohl nicht symmmetrisch als auch nicht antisymmetrisch.
Liege ich da richtig?
lg, freakC++
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freakC++ schrieb:
Antisymmetrie: Wenn (xRy UND yRx) gilt, dann gilt auch x = y.
freakC++ schrieb:
Die Relation "<" wäre zum Beispiel sowohl nicht symmmetrisch als auch nicht antisymmetrisch.
Also wenn ich da mal zurückdenke an vor 9 Tagen, wo Du ex falso quod libet verstanden hast, wachsen mir Zweifel. Obwohl, 9 Tage. Das sind für ein Kind des Privatfernsehens wie mich Ewigkeiten.
x<y UND y<x kann ja nie wahr werden. Aber dann ist die Implikation doch deswegen immer wahr.
Und die Relation < ist bestimmt auch ein bißchen transitiv.
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Jup...daran hatte ich nicht mehr gedacht. Neuer Versuch:
Die Relation "<" ist nicht reflexiv, nicht symmetrisch, aber antisymmetrisch und transitiv.
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freakC++ schrieb:
Die Relation "<" ist nicht reflexiv, nicht symmetrisch, aber antisymmetrisch und transitiv.
Ja, sehe ich auch so.
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Ich las soeben folgenden Satz:
Sei M eine Menge. Dann ist "ElementAus" eine Ordnungsrelation auf die Potenzmenge.
Das wollte ich gerne zeigen. Als Beispiel habe ich mir M = {1,2} herausgesucht.
P(M) = {{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
Die Relation R wird also auch "ElementAus" genannt.
Muss ich jetzt das Kreuzprodukt von der Menge M oder von der Potenzmenge mit sich selbst erstellen?
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Du siehst doch, was vor dem Element-Zeichen stehen darf und was danach. Dadurch hast du deine Mengen gegeben.
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Michael E. schrieb:
Du siehst doch, was vor dem Element-Zeichen stehen darf und was danach. Dadurch hast du deine Mengen gegeben.
Ich sehe es nicht. Für mich ist die Aufgabe Quatsch.
Wäre es die Teilmengenbeziehung, ja dann wäre alles klae. Aber zu "ElementAus" finde ich nichts.
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Eine Relation ist Teilmenge von AxB mit A und B Mengen. A und B müssen nicht gleich sein. Vor dem Element-Zeichen steht ein Element aus M, nach dem Element-Zeichen ein Element aus der Potenzmenge von M. Also ist die "Element-aus"-Relation Teilmenge von M x P(M).
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Michael E. schrieb:
Eine Relation ist Teilmenge von AxB mit A und B Mengen. A und B müssen nicht gleich sein.
Aber hier doch.
http://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation
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Sorry, hab Ordnung überlesen. Dann ist der Satz in der Tat falsch.
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Mmmhh...."TeilmengeAus" macht wirklich eher Sinn. Vielleicht habe ich mich verhört. Ich habe es jetzt mal damit ausprobiert.
Gegeben ist die Menge M = {1,2,3}. Ich habe nun das Kartesische Produkt M x P(M) gebildet. Das fängt so an M x P(M) = {(1, {}), (1,{1}, (1,{2}) ... }
Nun soll ich die Reflexivität zeigen. Doch bereits beim ersten Tupel versagt die Bedingung xRx. 1 ist nämlich nicht Teilmenge der leeren Menge.
Was mache ich falsch, denn ich weiß, dass die Relation reflexiv ist
Danke euch !!
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freakC++ schrieb:
Ich habe nun das Kartesische Produkt M x P(M) gebildet.
Ach nöö.
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Ich denke eher, deine Relation („Teilmenge aus“) muss dann die Form haben R ⊆ P(M) × P(M). Und die ist reflexiv. Eigenschaften wie Reflexivität machen sowieso nur Sinn, wenn die beiden Mengen der Relation identisch sind.